ויקיפדיה

סיגמא-אדיטיביות – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מלמד כץ (שיחה | תרומות)
23,954 עריכות
קישור
שכתוב
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''סיגמא-אדיטיביות''' היא הכללה של תכונת האדיטיביות, ממספר סופי של מחוברים ל[[טור (מתמטיקה)|טור]] אינסופי של מחוברים.
ב[[מתמטיקה]], '''סיגמא-אדיטיביות''' היא תכונה של [[פונקציה|פונקציות]] שהן חיבוריות בצורה [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]]. אנו אומרים שפונקציה <math>\mu\,</math> המוגדרת מ[[תת קבוצה|תתי-קבוצות]] של <math>\mathcal A</math> אל מספרים הממשיים, כלומר <math>\mu: \mathcal {P}(A) \to \mathbb{R}</math> היא חיבורית (או אדיטיבית) אם לכל שתי קבוצות זרות <math>A,B\,</math> ב- <math>\mathcal A</math> מתקיים <math>\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)</math>. או בקצרה <math>\mu( A \biguplus B) = \mu(A) + \mu(B)</math> סימן האיחוד <math>\biguplus </math> פירושו איחוד של [[קבוצות זרות]].
 
התכונה מתייחסת ל[[פונקציה|פונקציה]] <math>\mu: \mathcal {P}(A) \to \mathbb{R}</math> המוגדרת על משפחה של תת-קבוצות של הקבוצה <math>\mathcal A</math>, ומקבלת ערכים [[פונקציה ממשית|ממשיים]]. פונקציה כזו היא '''אדיטיבית''' אם לכל שתי [[קבוצות זרות]] <math>A,B\,</math> ב- <math>\mathcal A</math> מתקיים <math>\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)</math>. ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]], מתקיים <math>\ \mu(A_1 \cup \dots \cup A_n) = \mu(A_1)+\cdots + \mu(A_n)</math> לכל n-יה של קבוצות זרות <math>\ A_1,\dots,A_n</math>.
קל להכליל תכונה זו ב[[אינדוקציה]] לכל מספר סופי של קבוצות הזרות בזוגות: יהיו <math>\ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A}</math> מספר [קבוצה בת מנייה|[בן מנייה]] של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: <math>\ \forall i \ne j : A_i \cap A_j = \emptyset</math> .
אנו אומרים שהפונקציה <math>\mu\,</math> היא '''סיגמא-אדיטיבית''' או "חיבורית באופן בן מנייה" אם מתקיים <math>\textstyle \mu \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)} </math>.▼
 
▲אנו אומרים שהפונקציה <math>\mu\,</math>הפונקציה היא '''סיגמא-אדיטיבית''' אואם "חיבוריתלכל באופןסדרה בן<math>\ מנייה"A_1, אםA_2, \cdots \in \mathcal{A}</math> של קבוצות זרות, מתקיים <math>\textstyle \mu \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)} </math>.
כל פונקציה סיגמא-אדיטיבית היא בפרט אדיטיבית, אבל ההפך אינו נכון. (למשל, פונקציה המתאימה לכל קבוצה סופית של טבעיים את המספר אפס ולכל [[קבוצה אינסופית]] את המספר <math>\ 1</math> היא פונקציה אדיטיבית אשר אינה סיגמא-אדיטיבית.)▼
 
▲כל פונקציה סיגמא-אדיטיבית היא בפרט אדיטיבית, אבל ההפך אינו נכון. (למשל, פונקציה המתאימה לכל קבוצה סופית של טבעיים את המספר אפס ולכל [[קבוצה אינסופית]] את המספר <math>\ 1</math> היא פונקציה אדיטיבית אשר אינה סיגמא-אדיטיבית.).
 
== ראו גם ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סיגמא-אדיטיביות"