כמעט כל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], משתמשים לעתים בביטוי "כמעט כל" במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה '''זניחה'''"; השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים איחוד של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו- Q גם יחד".

 

 

כאשר עוסקים בסדרות, או ב[[קבוצה בת מנייה|קבוצות בנות מנייה]] באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על [[סדרה]] שהיא מתכנסת ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] x [[אם ורק אם]] לכל סביבה של x, '''כמעט כל''' אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.

 

* יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאד.

 

 

כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, ב[[תורת המספרים]], המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- <math>\ p(n)</math> הוא מספרם של ה[[מספר טבעי|טבעיים]] <math>\ 1,2,...,n</math> המקיימים תכונה מסוימת. אומרים ש'''כמעט כל''' המספרים מקיימים את התכונה, אם הגבול <math>\ p(n)/n</math> &larr; 1 כאשר <math>\ n</math> &larr; &infin;. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על-ידי <math>(\forall^\infty n) P(n)</math>.

לדוגמה, [[משפט המספרים הראשוניים]] קובע כי המספר של [[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ממספר נתון <math>\ n</math> שווה בקירוב ל- <math>\ n/\ln(n)</math>. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר <math>\ n</math> גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם [[מספר פריק|מספרים פריקים]], למרות שקיימים אין סוף מספרים ראשוניים.

 

 

ב[[תורת המידה]] אומרים שתכונה מתקיימת '''כמעט בכל מקום''' (Almost everywhere או .a.e) אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש [[מידה אפס]]. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.

המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל n, התנאי <math>\ P_n</math> מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים <math>\ P_1,P_2,\dots</math> יחדיו.

 

 

ב[[טופולוגיה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] או [[מרחב בייר|מרחבי בייר]] ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות ה[[קבוצה דלילה|קבוצות הדלילות]] את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, "התכונה P מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא אינה מתקיימת בקבוצה דלילה.