ממד קרול – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ברוקולי (שיחה | תרומות)
תיקון קישור לדף פירושונים
Yonidebot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: אידאל;
שורה 2:
 
==הגדרה==
נניח כי ''R'' הוא חוג חילופי, וכי <math>\,P_0,P_1,\dots,P_n</math> הם אידיאליםאידאלים ראשוניים ב''R'', כך ש<math>\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n</math>. אז נאמר שאידיאליםשאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך ''n''. '''מימד קרול''' של ''R'' מוגדר להיות ה[[חסם עליון|חסם העליון]] של כל אורכי השרשראות של אידיאליםאידאלים ראשוניים.
 
==דוגמאות==
* האידיאליםהאידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים <math>\,\mathbb{Z}</math> הם אידיאליםאידאלים ראשיים מהצורה <math>p\mathbb{Z}</math> כאשר ''p'' [[מספר ראשוני]], וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת <math>\,(0) \subsetneq p\mathbb{Z}</math>. לפיכך מימד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1.
* האידיאלהאידאל הראשוני היחיד ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא אידאל האפס, לכן מימד קרול של כל שדה הוא 0.
* אם ''R'' הוא חוג [[חוג נתרי|נתרי]] ממימד ''k'', ניתן להוכיח כי מימד קרול של <math>\,R[x]</math> ([[חוג הפולינומים]] במשתנה אחד מעל ''R'') הוא בדיוק ''k+1''.
* בהמשך לדוגמה הקודמת, אם ''K'' שדה, אז מימד קרול של החוג <math>\,K[x_1,\dots,x_n]</math> הוא בדיוק ''n''.