פונקציה מחזורית – הבדלי גרסאות

פונקציה [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] <math>\ f</math> היא '''מחזורית''', אם קיים קבוע <math>\ T\neq 0</math> כך שלכל <math>\ x</math> (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים <math>\,f(x) = f(x+T)</math>. כל קבוע <math>\ T</math> כזה נקרא '''מחזור''' של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא [[תת חבורה]] של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה [[קבוצה דיסקרטית|דיסקרטית]] הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]].

 

 

במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות <math>\ f(z+1)=f(z+i)=f(z)</math>). פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]].

==דוגמאות==

* הדוגמאות הנפוצות ביותר, ובמובן מסוים הטבעיות ביותר הן ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]: <math>\ \sin(x),\cos(x),\tan(x)</math>, כאשר ל-<math>\ \sin(x),\cos(x)</math> מחזור של <math>\ 2\pi</math>, ול-<math>\ \tan(x)</math> מחזור של <math>\ \pi</math>.

* [[פונקציית דיריכלה]] היא פונקציה מחזורית, משום שלכל [[מספר רציונלי]] <math>\ q</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x</math> מתקיים ש-<math>\ x+q</math> הוא רציונלי אם ורק אם <math>\ x</math> הוא רציונלי, ולפיכך <math>\,D(x+q)=D(x)</math>. מכיוון שכל רציונלי <math>\ q</math> הוא מחזור של הפונקציה, הרי שאין לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.

* כל [[פונקציה קבועה]] היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.