שדה מקומי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ בוט החלפות: אידאל; |
||
שורה 16:
* [[כדור (טופולוגיה)|כדור היחידה הסגור]] <math>\,\{a \in F:\nu(a)\geq 0\}</math>, שהוא [[קומפקטיות|קבוצה קומפקטית]], מהווה תת-חוג של השדה, הנקרא '''חוג השלמים''' <math>\,\mathcal{O}</math>. [[שדה שברים|שדה השברים]] של <math>\,\mathcal{O}</math> הוא ''F'' עצמו.
* חבורת ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] בחוג השלמים <math>\,\mathcal{O}^{\times}</math> שווה ל[[ספירה|ספירת]] היחידה <math>\,\{a \in F: \nu(a)=0\}</math>.
* חוג השלמים הוא [[חוג מקומי]],
* חוג המנה <math>\, \bar{F}=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> הוא [[שדה סופי|שדה סופי]] (מאחר והוא קומפקטי ו[[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטי]]), הנקרא '''שדה השאריות'''.
* כל כדור אפשר לפרק כאיחוד של <math>\ q=|\bar{F}|</math> כדורים מרדיוס קטן יותר; לפיכך, השדה הוא [[מרחב טופולוגי]] [[מרחב לא קשיר לחלוטין|לא קשיר לחלוטין]].
שורה 22:
==דוגמאות==
# המספרים ה''p''-אדים: חוג השלמים של שדה המספרים ה-''p''-אדיים <math>\,\mathbb{Q}_p</math> הוא חוג השלמים ה''p''-אדים <math>\,\mathbb{Z}_p</math>.
# השדה <math>\ \{\sum_{n=-N}^{\infty} a_n t^n : a_n \in \mathbb{F}_q\}</math> של טורי לורן הפורמליים מעל <math>\ \mathbb{F}_q</math>: חוג השלמים הוא האוסף טורי החזקות הפורמליים, <math>\ \{\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n : a_n \in \mathbb{F}_q\}</math>.
# אוסף טורי לורן הפורמלים מעל שדה המספרים הממשיים אינם מהווים שדה מקומי - שדה השברים של שדה זה הוא שדה המספרים המרוכבים שאינו שדה סופי.
| |||