תנאי הלדר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ רובוט מוסיף: de:Hölder-Stetigkeit |
הרחבה מהאנגלית, הסרת קצרמר, {{נ}} |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מתמטית]], '''תנאי הולדר''', הקרוי על-שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[גרמני]] [[אוטו הולדר]], הוא תנאי על [[פונקציה|פונקציות]] הקובע במובן מסויים את מידת ה[[רציפות]] שלהן. תנאי זה מרחיב את [[תנאי ליפשיץ]].
==הגדרה==
ניתן להכליל את תנאי הולדר גם עבור פונקציה על [[מרחב מטרי]] כלשהו, כלומר כל מרחב שבו מוגדר מושג המרחק. יהיו <math>\ X,Y</math> מרחבים מטריים, ותהי <math>\ f:X\to Y</math>. נאמר שהפונקציה <math>\ f</math> מקיימת את תנאי הולדר אם קיימים קבועים <math>\ K,\alpha</math> המקיימים: לכל <math>x_1,x_2\in X</math> מתקיים <math>\ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)^\alpha</math> כאשר <math>\ d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2)</math> הן ה[[מטריקה|מטריקות]] המתאימות.▼
[[פונקציה ממשית]] <math>\ f</math> מקיימת את '''תנאי הולדר''' (Hölder condition) אם קיימים [[מספר ממשי|קבועים ממשיים]] אי-שליליים <math>\ K\ , \alpha</math> המקיימים:
:לכל <math>\ x,y</math> בתחום הגדרת הפונקציה <math>\ |f(x)-f(y)|\le K|x-y|^\alpha</math>.
▲ניתן להכליל את תנאי הולדר גם עבור פונקציה
:לכל <math>x_1,x_2\in X</math> מתקיים <math>\ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)^\alpha</math>.
==תכונות==
* אם פונקציה מקיימת את תנאי הולדר בתחום מסויים עם קבוע <math>\,0<\alpha</math> אז היא [[פונקציה רציפה|רציפה]] באותו תחום. לעומת זאת, תנאי הולדר עם הקבוע <math>\,\alpha=0</math> פירושו למעשה [[פונקציה חסומה|חסימות]] של הפונקציה.
* מה[[פונקציה קמורה|קמירות]] של הפונקציה <math>\ t^\alpha</math>, עבור כל מעריך שגדול מ-1, נובע שאם פונקציה מ-<math>\mathbb{R}</math> או מכל [[מרחב נורמי]] אחר מקיימת את תנאי הולדר עבור <math>\ \alpha</math> גדול מאחד אז היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר <math>\,X</math> [[מרחב מטרי]] כלשהו.
* תנאי הולדר עם קבוע <math>\,\alpha=1</math> נקרא [[תנאי ליפשיץ]].
אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הולדר עבור מעריך מסויים <math>\alpha</math> מעל [[קבוצה פתוחה]] <math>\Omega</math> ב[[המרחב האוקלידי|מרחב האוקלידי]] מהווה [[מרחב וקטורי]] ומסומן <math>\ C^{0,\alpha} (\Omega )</math>. אוסף הפונקציות שה[[נגזרת]] ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: <math>\ C^{n,\alpha} (\Omega )</math>, וגם הוא מרחב וקטורי.
על המרחבים האלו מוגדרת [[סמי-נורמה]] טבעית (כאשר ב- <math>\ C^{n,\alpha} (\Omega )</math> ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):
:<math> | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha} </math>
{{נ}}
[[קטגוריה: אנליזה מתמטית]]
[[en:Hölder condition]]
[[de:Hölder-Stetigkeit]]
| |||