עצמאות (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות

המתמטיקאי ה[[אוסטריה|אוסטרי]]-[[ארצות הברית|אמריקאי]] [[קורט גדל]] הוכיח ב-[[1931]] שבכל [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]] המבוססת על [[שפה מסדר ראשון]] שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים, יש נוסחאות שאינן ברות הכרעה. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית ו[[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלמה]]. חוק זה נקרא [[משפט אי השלמות של גדל]], ובעקבותיו השתנתה ההתייחסות לתוכנית של [[דייווידדויד הילברט]] לבסס את כל ה[[מתמטיקה]] על [[קבוצה סופית]] של אקסיומות.