הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם גאוס-לז'נדר"

עריכה
מ
(עריכה)
[[אלגוריתם גאוס-לז'נדר]] הוא [[אלגוריתם]] מהיר לחישוב הספרות של [[קבוע מתמטי|הקבוע המתמטי]] [[פאי|<math>\pi</math>]], המבוסס על ה[[ממוצע אריתמטי-גאומטרי|הממוצע האריתמטי-גאומטרי]] של שני מספרים. מספר הספרות המדוייקות בהערכת הקבוע מוכפל בכל צעד, ובעזרת מחשב מודרני האלגוריתם מאפשר לחשב מליארדי ספרות, ואף יותר.
{{לשכתב}}
[[אלגוריתם גאוס-לז'נדר]] הוא [[אלגוריתם]] לחישוב הספרות של [[קבוע מתמטי|הקבוע המתמטי]] [[פאי|<math>\pi</math>]].
 
האלגוריתםאלגוריתם מבוססזה, עלודומים שילובלו, עבודותיהםנחקרו שלעל-ידי [[קרל פרידריך גאוס]] ([[1855]]-[[1777]]) ושל ו[[אדריאן-מארי לז'נדר]] ([[1833]]-[[1752]]),בראשית יחד עם אלגוריתמים מודרניים לכפל ו[[הוצאתהמאה שורש ריבועיה-19]]. האלגוריתם הינו [[איטרציה|איטרטיבי]] מטבעו, ומבוסס על החלפה חוזרת של שני מספרים ב[[ממוצע|ממוצעים האריתמטי והגאומטרי]] שלהם, כדי לבצע חישוב מקורב של הממוצע האריתמטי-גאומטרי שלהם.
 
הגרסה שמוצגתהמוצגת כאן ידועה כ[["אלגוריתם בראנט-סלאמין]]", בשל העובדה שהאלגוריתם נתגלה מחדש, באופן בלתי תלוי, על ידי מדען המחשבים ריצ'רד בראנט והמתמטיקאי יוג'ין סלאמין ב-[[1975]].
בתאריכים 18 עד 20 ב[[ספטמבר]] בשנת [[1999]], נעשה שימוש באלגוריתם לחישוב 206,158,430,000 הספרות העשרוניות הראשונות של <math>\pi</math>.
 
=== תיאור האלגוריתם ===
'''אתחול האלגוריתם''' מתבצע על ידי מתן ערכים התחלתיים לפרמטרים הבאים:הערכים ההתחלתיים
:<math>a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad t_0 = \frac{1}{4}\qquad p_0 = 1</math>
 
:<math>p_{n+1} = 2p_n \,</math>
 
'''בתום השלב האיטרטיבי''' מחושב הקירוב ל-π בעזרת הפרמטרים <math>\ a_n, b_n, t_n</math> לעיל, על ידי הנוסחה:<br />
<math>\pi \approx \frac{(a_n+b_n)^2}{4t_n} \,</math>
 
...3.1415926535897932384626433832795028841971
 
== מקורות חיצוניים ==
* ,PI and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein. 1987.
 
[[en:Gauss-Legendre algorithm]]