קבוצה ממידה אפס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהות |
MathKnight (שיחה | תרומות) חלוקה לסעיפים, קצת תוספות, הסרת קצרמר |
||
שורה 1:
קבוצה בעלת '''מידה אפס''' היא קבוצה ש[[מידת לבג]] שלה היא [[0 (מספר)|אפס]]. באופן אינטואיטיבי, זו קבוצה כל כך קטנה עד כדי כך שהיא איננה משפיעה על ה[[אנליזה מתמטית|אנליזה]].
== הגדרה פורמלית ==
באופן ישיר, נאמר שקבוצה E ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]] היא '''בעלת מידה אפס''' או '''קבוצת אפס''' אם:▼
▲באופן ישיר, נאמר שקבוצה E ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]] היא '''בעלת מידה אפס''' או '''קבוצת אפס''' אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים כיסוי בן-מניה של [[קטע|קטעים]] פתוחים המכסה את E ושסכום אורכיו קטן מאפסילון. כלומר:
: <math>\ \forall \varepsilon > 0 : \ \exist \{ I_n \}_{n=1}^{\infty} \ \mbox{intervals} \ , \ \mbox{such that} \ : \ E \subset \bigcup_{n}{I_n} \ \mbox{and} \ \sum_{n}{|I_n|} < \varepsilon </math>
עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, כל תת-קבוצה שלה היא גם מדידה ומידתה היא גם כן אפס.
== משמעות ==
באופן אינטואיטיבי, המשמעות של להיות קבוצה בעלת מידה אפס זו להיות קבוצה זניחה שלא משפיעה על האנליזה.
* למשל: פונקציה היא [[אינטגרל|אינטגרבילית במובן רימן]] אם קבוצת כל הנקודות אי-הרציפות שלה היא ממידה אפס.
* אם f ו-g [[אינטגרל|אינטגרביליות רימן]], ו-f נבדלת מ-g רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס אזי אינטגרל רימן של f שווה לאינטגרל רימן של g.
* אם f נבדלת מ-g רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס אזי [[אינטגרל לבג]] של f שווה לאינטגרל לבג של g.
* [[פונקציה מונוטונית]] גזירה [[כמעט בכל מקום]], כלומר: קבוצות הנקודות שבהן לא קיימת הנגזרת היא קבוצה בעלת מידה אפס.
== דוגמאות לקבוצות
להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:
* נקודה בודדת בישר הממשי.
* כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
שורה 19 ⟵ 25:
* [[קבוצת קנטור]]. זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס למרות שהיא איננה בת-מניה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.
* במישור הממשי, כל קו הוא בעל מידה אפס (כאשר כאן מידת לבג מכלילה את ה[[שטח]] ולא את האורך).
* במרחב הממשי התלת מימדי, כל משטח או קו הוא בעל מידה אפס (כאשר כאן מידת לבג מכלילה את ה[[נפח]] ולא את השטח או האורך).
== ראו עוד ==
שורה 26 ⟵ 33:
* [[כמעט בכל מקום]]
* [[קבוצה דלילה]] (הכללה של [[טופולוגיה]] לקבוצה זניחה)
[[קטגוריה:תורת המידה]]
| |||