שדה סופי – הבדלי גרסאות

'''קיום'''. יהי K [[שדה פיצול| שדה הפיצול]] של ה[[פולינום]] <math>\ f(t)=t^{p^n}-t</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> (לפי תורת גלואה, יש שדה יחיד כזה, עד-כדי איזומורפיזם). בשדה K מתקיימות הזהויות <math>\ (ab)^p=a^pb^p</math> ו- <math>\ (a+b)^p=a^p+b^p</math>; מכאן שאוסף הפתרונות <math>\ K_0=\{a\in K: a^{p^n}-a=0\}</math> סגור לחיבור ולכפל; ולכן הוא מהווה תת-שדה של K; הפולינום f מתפצל ב- <math>\ K_0</math> (המכיל את כל השורשים של f), ולכן <math>\ K=K_0</math>. אבל הפולינום f הוא [[פולינום ספרבילי]], ולכן יש לו בדיוק <math>\ deg(f)=p^n</math> פתרונות - מכאן ש- K שדה בעל <math>\ p^n</math> אברים.

 

 

[[חבורת גלואה|חבורת גלואה]] של הרחבה של שדות סופיים, <math>\ \mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q</math> כאשר q חזקה של ראשוני, היא [[חבורה ציקלית]] מסדר n, הנוצרת על-ידי [[אוטומורפיזם פרובניוס]] <math>\ x\mapsto x^q</math>. כל ההרחבות של שדות סופיים הן ספרביליות.