סכום של שני ריבועים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מ תיקון קישור לדף פירושונים: פסקל |
||
שורה 5:
ב- [[1225]] הציג והוכיח [[פיבונאצ'י]] את נוסחת המכפלה <math>\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac\pm bd)^2 + (ad\mp bc)^2</math>, שהייתה מוכרת כנראה כבר לדיופנטוס, למרות שהלה לא ניסחה במפורש. מן ה[[נוסחה]] עולה שכדי להציג מספר נתון כסכום של שני ריבועים שלמים, די להציג באופן הזה את גורמיו הראשוניים; אז אפשר להעזר בנוסחה כדי לקבל הצגות עבור המכפלה. לדוגמה, מן ההצגות <math>\ 3^2+2^2=13</math> ו- <math>\ 1^2+2^2=5</math>, אפשר לקבל את <math>\ 8^2+1^1=4^2+7^2=65</math>.
ב- [[1638]] הציע [[פייר דה פרמה|פרמה]] ל[[דקארט]] להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה <math>\ 4k-1</math> כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה ל[[מרן מרסן|מרסן]]: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה <math>\ 4m</math> או <math>\ 8m+1</math>. ב-[[1659]] כתב פרמה ל[[בלז פסקל|פסקל]] שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של [[נסיגה אינסופית]].
פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-[[1670]] קובץ הערות על הספר "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" של דיופנטוס, התייחס גם ל[[משוואה]] <math>\ a^2+b^2=n</math>. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם <math>\ n=p^k</math> ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק <math>\ [\frac{k+1}{2}]</math> פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים.
| |||