משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אם כל מקדמי המשוואה הם ממשיים וחלק מהשורשים שיתקבלו הם [[מספר מרוכב|מרוכבים]], ניתן לקבל מכל פתרון מרוכב פתרון ממשי, שאינו כולל מספרים מרוכבים, בצורה זו: מכיוון שכל מקדמי המשוואה ממשיים, מספר מרוכב הוא פתרון שלה רק אם גם הצמוד שלו הוא פתרון שלה. נניח כי <math>\ \alpha+i\beta,\alpha-i\beta</math> הם שני פתרונות שכאלו. אז הפונקציות המתאימות להם הן <math>\ e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x},e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{-i\beta x}</math>.
 
כעת, בהסתמך על העובדה שסכום וכפל בקבוע של פתרונות גם הוא פתרון, נקבל שני פתרונות ממשיים על ידי שימוש ב[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]:
 
:<math>\ e^{\alpha x} \frac{e^{i\beta x}+e^{-i\beta x}}{2}=e^{\alpha x}\cos(\beta x),