המשוואה הפונקציונלית של קושי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
ב-[[1905]] הוכיח [[גיאורג המל]], תוך שימוש ב[[בסיס המל]], כי אם אין מתנים תנאים נוספים על <math>\ f</math> מעבר למשוואה לעיל, אזי (בהנחת [[אקסיומת הבחירה]]) קיימות אינסוף פונקציות אחרות שמקיימות את המשוואה. הבעיה החמישית ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]] היא הכללה של משוואה זו.
==הוכחת הפתרון מעל הרציונליים==
נציב במשוואה <math>y = 0</math> ונקבל <math>f(x+0)=f(x)+f(0)</math>, אזי <math>f(0)=0</math>.
<br /><br />
כעת, נציב <math>y=-x</math> ונקבל <math>f(x-x)=f(x)+f(-x)</math>, אזי <math>f(-x)=-f(x)</math>.
<br /><br />
באינדוקציה, נקבל מהמשוואה כי <math>f(mx)=mf(x)</math> לכל מספר טבעי <math>m</math>. עפ"י ההצבה הקודמת, זה נכון לכל m שלם.
<br /><br />
נשים לב כי <math>f(x)=f \left( m \frac{x}{m} \right)</math> לכל שלם m ולכן, עפ"י הנ"ל, <math>f(x)=mf \left(\frac{x}{m} \right)</math>, כלומר <math>f \left(\frac{x}{m} \right)=\frac{1}{m}f(x)</math>.
<br /><br />
שילוב שתי התוצאות לעיל נותן לנו כי לכל מספר רציונלי <math>\frac{m}{n}</math> מתקיים <math>f \left(\frac{m}{n}x \right) = \frac{m}{n}f(x)</math>. נציב x=1 ונקבל <math>f \left(\frac{m}{n} \right) = c \frac{m}{n}</math> לכל <math>\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}</math>, כאשר <math>c=f(1)</math>.
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
| |||