שדה המספרים הניתנים לבנייה – הבדלי גרסאות

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). ה[[סרגל]] מאפשר להעביר [[קו ישר]] בין שתי נקודות נתונות; ה[[מחוגה]] מאפשרת להקצות [[מעגל]] שמרכזו הוא נקודה נתונה, וה[[רדיוס (גאומטריה)|רדיוס]] שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

 

 

לאחר שזיהינו את המישור עם [[שדה המספרים המרוכבים]], האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה כמובן תת-קבוצה של שדה המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]], ל[[כפל]] ולפעולה <math>\ x \mapsto 1/x</math>. מזה נובע ש-S (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר [[זווית|זוויות]], וכך (על-פי [[נוסחאות דה-מואבר]]) מתברר ש-S סגור גם לכפל וחילוק.