הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה מחזורית"

אין תקציר עריכה
 
במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות <math>\ f(z+1)=f(z+i)=f(z)</math>). פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]].
 
באופן כללי יותר, פונקציה <math>\ f : G \rightarrow X</math> מ[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] G לקבוצה X היא '''מחזורית מימין''', אם קיים <math>\ 1 \neq a\in G</math> כך ש- <math>\ f(ga)=f(g)</math>. האוסף A של מחזורים-מימין (כלומר, האברים <math>\ a\in G</math> המקיימים את התנאי <math>\ f(ga)=f(g)</math> לכל g) הוא [[תת חבורה]] של G, והפונקציה <math>\ f</math> מוגדרת על מרחב הקוסטים <math>\ G/A</math> (לפי הנוסחה <math>\ f(gA) = f(g)</math>). פונקציה כזו נקראת בדרך-כלל '''אינווריאנטית תחת פעולת A''' (או '''A-אינווריאנטית'''). פונקציה שהיא אינווריאנטית גם מימין וגם משמאל נקראת '''דו-אינווריאנטית'''. בתנאים מסויימים, אוסף הפונקציות האלה מהווה [[אלגברת הקה]].
 
==דוגמאות==
* הדוגמאות הנפוצותהמוכרות ביותר, ובמובן מסוים הטבעיות ביותר הן ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]: <math>\ \sin(x),\cos(x),\tan(x)</math>, כאשר ל-<math>\ \sin(x),\cos(x)</math> מחזור של <math>\ 2\pi</math>, ול-<math>\ \tan(x)</math> מחזור של <math>\ \pi</math>.
* פונקציית ה[[אקספוננט]] <math>\,f(z) = e^z</math> היא [[פונקציה מרוכבת]] מחזורית בעלת מחזור <math>\,2\pi i</math>. כפונקציה ממשית, פונקציית האקספוננט אינה מחזורית (היא [[פונקציה עולה|מונוטונית עולה]]).
* [[פונקציית דיריכלה]] היא פונקציה מחזורית, משום שלכל [[מספר רציונלי]] <math>\ q</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x</math> מתקיים ש-<math>\ x+q</math> הוא רציונלי אם ורק אם <math>\ x</math> הוא רציונלי, ולפיכך <math>\,D(x+q)=D(x)</math>. מכיוון שכל רציונלי <math>\ q</math> הוא מחזור של הפונקציה, הרי שאין לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.
* כל [[פונקציה קבועה]] היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.
* הפונקציה <math>\ f(x)=x-[x]</math> כאשר <math>\ [x]</math> מייצג את [[פונקציית הערך השלם|הערך השלם]] של המספר היא בעלת מחזור של 1.
[[קטגוריה: אנליזה מתמטית]]
* פונקציה מחזורית ו[[רציפות|רציפה]] על הישר היא [[רציפות במידה שווה|רציפה במידה שווה]].
 
 
[[קטגוריה: אנליזה מתמטית]]
 
[[en:Periodic function]]