הלמה של צורן – הבדלי גרסאות

תהא <math>\ B </math> [[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת מקסימלית]] ב-<math>\ A </math> (קיומה מובטח לפי [[עקרון המקסימום של האוסדורף]]) ויהי <math>\ a </math> חסם מלעיל ל-<math>\ B </math>. נוכיח כי <math>\ a </math> מקסימלי ב-<math>\ A </math> (ההוכחה היא ב[[הוכחה בדרך השלילה|דרך השלילה]]). נניח ש-<math>\ a </math> איננו מקסימלי. לכן, קיים <math>\ b </math> ב-<math>\ A </math> כך ש-<math>\ a<b </math>. מהיותו של <math>\ a </math> חסם מלעיל ל-<math>\ B </math> אנו מקבלים כי לכל <math>\ c </math> ב-<math>\ B </math> מתקיים <math>\ c \le a </math>. מכאן, לכל <math>\ c </math> ב-<math>\ B </math> מתקיים <math>\ c<b </math> ולכן <math>\ b \not\in B </math>. נתבונן בקבוצה <math>\ B \cup \left\{ b \right\} </math>. מאחרהקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-<math>\ b \not\in B </math> אז אנו מקבלים ש-<math>\ B \subset B \cup \left\{ b \right\} </math>, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-<math>\ B </math> וזאת בסתירה לכך ש-<math>\ B </math> היא שרשרת מקסימלית ב-<math>\ A </math>. סתירה זאת מוכיחה את המשפט.