משפט קנטור לרציפות במידה שווה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
גילגמש (שיחה | תרומות)
מ {{אנליזה מתמטית}}
מ ←‏הוכחה: קישור
שורה 6:
 
==הוכחה==
נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה הסדרתית של רציפות: פונקציה <math>\ f</math> היא רציפה בנקודה <math>\ x_0</math> אם ורק אם עבור כל סדרה <math>\ a_n</math> השואפת לנקודה זו, <math>\ a_n\rarr x_0</math> מתקיים <math>\ f(a_n)\rarr f(x_0)</math>. כלומר, ערכי תמונות אברי הסדרה שואפים לתמונת [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] הסדרה.
 
תהא כעת <math>\ f(x)</math> פונקציה רציפה בקטע הסגור <math>\ [a,b]</math>. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים <math>\ \varepsilon_0</math> כך שעבור כל <math>\ n\isin\mathbb{N}</math> קיימות שתי נקודות <math>\ x_n,y_n\isin[a,b]</math> כך שמתקיים <math>\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0</math>.