קוטב (אנליזה מרוכבת) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אינטרויקי, נבדק |
תיקון ותוספות |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]]
==הגדרה פורמלית==
# הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, אבל לא מוגדרת או אינה אנליטית בנקודה עצמה (זהו '''קוטב מבודד'''); '''או'''
# <math>\ z_0</math> היא [[נקודת הצטברות]] של קטבים, כלומר ישנה סדרת קטבים <math>\ z_n</math> המתכנסת ל- <math>\ z_0</math>.
במקרה הראשון: אם הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}f(z)</math> קיים, זהו קוטב '''ניתן להסרה''' או 'קוטב מסדר 0'. המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים (וסופי), נקרא ה'''סדר''' של הקוטב - ובלבד שמספר כזה קיים. אם לא קיים כזה n, הקוטב נקרא '''קוטב עיקרי'''.
במקרה השני הקוטב תמיד נקרא 'קוטב עיקרי'.
קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''.
==תכונות של קטבים==
הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב
הגבול <math>\ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math>\ k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
שורה 14 ⟵ 20:
#<math>\ L=c_{-n}</math> אם <math>\ k=n</math>.
#<math>\ L=0</math> אם <math>\ k>n</math>.
==דוגמאות==
# לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ n</math> בנקודה <math>\ z=0</math>.
#לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ 2</math> בנקודה <math>\ z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math>\ \cos z</math> הוא: <math>\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math> יש קוטב עיקרי בנקודה <math>\ z=0</math>.
כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה <math>\ z=\infty</math> נחשבת לקוטב של <math>\ f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב <math>\ z=0</math> בפונקציה <math>\ f(1/z)</math>.
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[en:Pole (complex analysis)]]
[[sl:pol (kompleksna analiza)]]
[[de:Polstelle]]
| |||