קוטב (אנליזה מרוכבת) – הבדלי גרסאות

תיקון ותוספות
(אינטרויקי, נבדק)
(תיקון ותוספות)
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] היאהוא נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] מבודדת של הפונקציה, כלומר נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת היטב. קוטבאם מאופיין בכך שהפונקציההפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים הולכיםהמתקרבים וקרביםלנקודה, אליואז נקודה זו היא קוטב.
 
==הגדרה פורמלית==
תהא <math>\ f(z)</math> פונקציה מרוכבת. נקודה <math>\ z_0</math> היא '''קוטב''' של הפונקציה,פונקציה אם קיים <math>\ n</math>, [[מספר שלם]] חיובי, כך שהפונקציהמרוכבת <math>\ f(z)\cdot(z-z_0)^n</math>, היא [[פונקציהאם אנליטית]].
# הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, אבל לא מוגדרת או אינה אנליטית בנקודה עצמה (זהו '''קוטב מבודד'''); '''או'''
# <math>\ z_0</math> היא [[נקודת הצטברות]] של קטבים, כלומר ישנה סדרת קטבים <math>\ z_n</math> המתכנסת ל- <math>\ z_0</math>.
 
במקרה הראשון: אם הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}f(z)</math> קיים, זהו קוטב '''ניתן להסרה''' או 'קוטב מסדר 0'. המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים (וסופי), נקרא ה'''סדר''' של הקוטב - ובלבד שמספר כזה קיים. אם לא קיים כזה n, הקוטב נקרא '''קוטב עיקרי'''.
למספר <math>\ n</math> הקטן ביותר שעבורו זה מתקיים קוראים '''הסדר''' של הקוטב.
 
במקרה השני הקוטב תמיד נקרא 'קוטב עיקרי'.
 
קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''.
 
==תכונות של קטבים==
 
הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב נקודתקוטב הקוטבמסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math>\ (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math>\ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>.
 
הגבול <math>\ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math>\ k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
#<math>\ L=c_{-n}</math> אם <math>\ k=n</math>.
#<math>\ L=0</math> אם <math>\ k>n</math>.
 
==דוגמאות==
 
# לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ n</math> בנקודה <math>\ z=0</math>.
#לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ 2</math> בנקודה <math>\ z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math>\ \cos z</math> הוא: <math>\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math> יש קוטב עיקרי בנקודה <math>\ z=0</math>.
 
כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה <math>\ z=\infty</math> נחשבת לקוטב של <math>\ f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב <math>\ z=0</math> בפונקציה <math>\ f(1/z)</math>.
 
 
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[en:Pole (complex analysis)]]
[[sl:pol (kompleksna analiza)]]
[[sl:pol (kompleksna analiza)]][[de:Polstelle]][[he:&#1511;&#1493;&#1496;&#1489; (&#1488;&#1504;&#1500;&#1497;&#1494;&#1492; &#1502;&#1512;&#1493;&#1499;&#1489;&#1514;)]]
[[de:Polstelle]]
{{נבדק}}