4-וקטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הכנסתי את המושג "קווריאנטי" ו"קונרהוריאנטי" להגדרה. דיקדקתי קצת ב"נורמה". תיקנתי את A^\mu |
|||
שורה 1:
'''4-וקטור''' הוא [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] [[תורת היחסות|יחסותי]] בעל 4 רכיבים ב[[מרחב מינקובסקי]] שהוא בעל ארבעה [[ממד (פיזיקה)|ממדים]]: שלושה ממדי אורך ומימד [[זמן]] אחד. על מנת שארבעת הרכיבים יהוו 4-וקטור, עליהם לעבור (לפי הגדרה) טרנספורמצית לורנץ כך:
* 4-וקטור קונטרהוריאנטי, כלומר כמו הדיפרנציאל <math>d\bar{x}^\mu=\Lambda^{\mu}\,_{\nu}x^{\nu}</math>
* 4-וקטור קווריאנטי, כלומר כמו הנגזרת <math>\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = (\Lambda^{-1})^{\nu}\,_{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}</math>
המספרים <math>\Lambda^\mu\,_\nu</math> מייצגים [[טרנספורמצית לורנץ]] ממערכת אחת לאחרת. 4-וקטור הוא [[טנזור]] מדרגה ראשונה. השתמשנו כאן, כפי שמקובל בטיפול ב4-וקטורים, ב[[הסכם הסכימה של איינשטיין]].
== מתמטיקה של 4-וקטור ==
שורה 6 ⟵ 9:
הווקטור הבסיסי ביותר הוא '''4-וקטור המקום''' או '''המאורע''', שמציין את הקואורדינטות במקום ובזמן של התרחשות מאורע מסוים:
: <math>\ x^\mu = ( x^0 , x^1 , x^2, x^3 ) := (ct , x , y, z)\equiv (ct,\vec{r})</math>
הקשר בין וקטור קונטרהוריאנטי לבין הגרסה הקווראינטית של הוקטור הוא בעזרת המטריקה,
<math>A_\mu=\eta_{\mu\nu}A^\nu,\ \ \ A^\mu=\eta^{\mu\nu}A_\nu</math>
הנורמה של 4-וקטור מחושבת באמצעות ה[[מטריקה]], אשר באמצעותה מגדירים [[מכפלה סקלרית]] של שני 4-וקטורים:
שורה 24 ⟵ 27:
ואז הנורמה היא
: <math>\ \| a \| ^2 = a^\mu a_\mu = a^\mu \eta_{\mu \nu} a^\nu</math>
כאשר השתמשנו ב[[הסכם הסכימה של איינשטיין]] (סכימה על אינדקס שמופיע פעם עליון ופעם תחתון). כדאי להדגיש שזו אינה "נורמה" במובן הרגיל, משום שהיא יכולה להיות דמיונית (נורמה בריבוע שהיא מספר שלילי).
== 4-וקטור ב[[תורת היחסות הפרטית]] ==
שורה 79 ⟵ 82:
באלקטרומגנטיות ([[חשמל]] ו[[מגנטיות]]) אפשר להגדיר 4-וקטורים שימושיים:
* 4-וקטור צפיפות ה[[זרם חשמלי|זרם]] והמטענים: <math>\ j^\mu = \left( c \rho , \vec{j} \right)</math>.
* 4-וקטור ה[[פוטנציאל]] האלקטרומגנטי: <math>\ A^\mu = \left( \phi
* 4-וקטור ה[[תדירות]] של [[גל אלקטרומגנטי]]: <math>\left( \omega , c \vec{k} \right) </math>
| |||