|
ב[[מתמטיקה]], '''אידאל ראשוני''' הוא [[תת קבוצה]]סוג של [[חוגאידאל (מבנה אלגבריאלגברה)|חוגאידאל]] החולקתהחולק רבות מהתכונות של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] ב[[חוג המספרים השלמים]]. התכונה הבסיסית אשר הוא מכליל היא: במידה ומכפלת שני מספרים שלמים מתחלקת במספר ראשוני, אחד מהם יתחלק בו גם כן. ההקשר השכיח ביותר לאידאלים ראשוניים תיאורהוא פשוטבמקרה במיוחדשל ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] [[חוק החילוף|חילופיים]], לכןולכן נבדיל בין ההגדרות בהתאם למקרה החילופי והלא חילופי.
==אידאלים ראשוניים בחוגים חילופיים==
אם'''הגדרת אידאל ראשוני:''R'' הואיהי R חוג חילופי,. [[אידאל ''(אלגברה)|אידאל]] P'' ב''-R'' הואנקרא '''ראשוני''' אם שתי התכונות הבאות מתקיימות:
* לכל זוג אבריםאיברים <math>\,a,b\in ∈R</math> כך ש <math>\ab∈P, מתקיים a\cdot∈P b\inאו b∈P</math> אז(במילים: ''a''אם שייךמכפלת לשני ''איברים בחוג שייכת ל-P'', אואז ''b''בהכרח אחד מהם גם יהיה שייך ל ''-P'').
* ''P'' אינו שווה ל''-R'' כולו.
אידאל P הוא ראשוני אם ורק אם R/P ([[חוג מנה|חוג המנה]]) הינו [[תחום שלמות]]. זה נובע כמעט טאוטולוגית מההגדרות.
תכונה זו מכלילה את התכונה הבאה של מספרים ראשוניים: אם ''p'' הוא מספר ראשוני ו''p'' מחלק את מכפלת המספרים השלמים ''ab'' אז ''p'' מחלק את ''a'' או ''p'' מחלק את ''b''. לפיכך ניתן לאמר:
:[[מספר טבעי]] ''n'' הוא ראשוני אם ורק אם האידאל <math>\,n\mathbb{Z}</math> הוא אידאל ראשוני ב<math>\,\mathbb{Z}</math>. ▼'''דוגמאות:'''
▲:* [[מספר טבעי]] ''<math>\,n ''</math> הוא ראשוני אם ורק אם האידאל <math>\,n\mathbb{Z}</math> הוא אידאל ראשוני ב -<math>\,\mathbb{Z}</math> . באופן כללי יותר, [[אידאל ראשי]] בחוג הינו ראשוני, אם ורק אם איבר המגדיר אותו הינו איבר ראשוני.
* [[אידאל מקסימלי]] הינו בהכרח ראשוני.
==אידאלי ראשוניים בחוגים לא חילופיים==
| 