נורמה (אלגברה) – הבדלי גרסאות

אם <math>\ K/F</math> [[הרחבת גלואה]] של שדות, אפשר לראות ב-K אלגברה מעל השדה F, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- <math>\ \{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}</math> את האיברים ב[[חבורת גלואה]] של ההרחבה (כאשר n שווה לממד ההרחבה). כל איבר <math>\ a\in K</math> מאפס את הפולינום <math>\ f(\lambda) = (\lambda-\sigma_1(a)) \cdots (\lambda - \sigma_n(a))</math>, שמקדמיו שייכים לשדה השֶ‏בת F, ופולינום זה (עבור a גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K. מכאן מתקבלת הנוסחה <math>\ N_{K/F}(a) = \sigma_1(a)\cdots \sigma_n(a)</math>.

 

 

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה <math>\ K/F</math> [[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]], משום שאז קיים "סגור גלואה" <math>\ K \subseteq E</math>, היינו שדה E המהווה הרחבת גלואה של F. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים <math>\ \sigma_1,\dots,\sigma_n</math> של E המשרים פעולות שונות על K, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.