פתיחת התפריט הראשי

שינויים

אין שינוי בגודל ,  לפני 11 שנים
מ
בוט החלפות: על ידי;
ב[[תורת החבורות]], '''חבורה ציקלית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[יוצר (תורת החבורות)|הנוצרת]] על- ידי איבר אחד. במקרה כזה, כל אחד מאברי החבורה הוא חזקה של אותו איבר, והיא בפרט [[חבורה אבלית]].
 
חבורות ציקליות הן הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה, ולפי [[משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית]], אפשר להרכיב מהן (באמצעות [[מכפלה ישרה]]) את החבורות האבליות [[נוצר סופית|הנוצרות סופית]]. אם מרשים [[הרכבה של חבורות|הרכבה]] מסובכת יותר, אפשר לבנות מן החבורות הציקליות את כל [[חבורה פתירה|החבורות הפתירות]].
לדוגמה, החבורה <math>\ \mathbb{Z}</math> הכוללת את כל המספרים השלמים, ביחס לפעולת החיבור, היא ציקלית. כל איבר שלה מתקבל מסיכום היוצר <math>\ 1</math> לעצמו, מספר סופי של פעמים. דוגמה נוספת מתקבלת מן המספרים <math>\ \{0,1,2,\dots,n-1\}</math> עם פעולת החיבור [[חשבון מודולרי|מודולו]] המספר הטבעי <math>\ n</math>, כלומר [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. גם כאן, <math>\ 1</math> הוא יוצר של החבורה, שהיא בעלת [[סדר (תורת החבורות)|סדר]] <math>\ n</math>.
 
בכל חבורה, תת-החבורה הנוצרת על- ידי איבר אחד <math>\ g</math> (ומורכבת, על-פי ההגדרה, מכל החזקות <math>\ \{g^k : k\in \mathbb{Z}\}</math>), היא חבורה ציקלית.
 
== יחידות וסימון ==
 
כל שתי חבורות ציקליות בעלות אותו סדר [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו, ולכן מוצדק לדבר על '''החבורה הציקלית''' מסדר n, ב[[ה' הידיעה]]. כאשר משתמשים בכתיב כפלי, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על- ידי איבר <math>\ g</math> בסימון <math>\ <g></math>, או, כאשר רוצים להדגיש את סדר החבורה, <math>\ <g|g^n=1></math> ואפילו <math>\ <g|g^n></math>.
 
כל חבורה ציקלית מסדר <math>\ n</math> איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}_n</math>, וכל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}</math>, ולכן גם אלו סימונים מקובלים לחבורה ציקלית.
== איברים ==
 
היוצר של חבורה ציקלית כמעט לעולם אינו יחיד. החבורה הציקלית האינסופית <math>\ \mathbb{Z}</math> נוצרת על- ידי <math>\ 1</math> או על- ידי <math>\ -1</math>. לחבורה ציקלית <math>\ <g></math> מסדר <math>\ n</math> יש <math>\ \varphi(n)</math> יוצרים (כאשר <math>\ \varphi</math> היא [[פונקציית אוילר]]), שהם בדיוק החזקות <math>\ g^k</math> עבורן <math>\ k</math> [[מספרים זרים|זר]] ל-<math>\ n</math>.
 
באופן כללי יותר, [[סדר (תורת החבורות)|הסדר]] של איבר <math>\ g^k</math> הוא <math>\ \frac{n}{(n,k)}</math>, כאשר <math>\ (n,k)</math> הוא [[מחלק משותף מקסימלי|המחלק המשותף המקסימלי]] של <math>\ n,k</math>.
271,876

עריכות