הרחבת שדות – הבדלי גרסאות

הרחבה <math>\ K/F</math> היא '''הרחבה פשוטה''' אם היא נוצרת על- ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.

נניח ש-<math>\ K=F(a)</math>, כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את <math>\,F</math> ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר [[הומומורפיזם של חוגים|הומומורפיזם]] מחוג הפולינומים <math>\ F[\lambda]</math> לשדה K, על- ידי הצבה: <math>\ f(\lambda)\mapsto f(a)</math>. תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא [[תחום שלמות]]. מכאן נובע שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ההומומורפיזם הוא [[אידיאלאידאל ראשוני]]. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במלים אחרות, a טרנסצנדנטי, ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים <math>\ F[a]</math>, שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא [[חוג אוקלידי|אוקלידי]], האידאל חייב להיות [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על- ידי פולינום אי-פריק f מעל <math>\,F</math>, שהוא '''הפולינום המינימלי''' של a.