חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
PipepBot (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: pt:Domínio euclidiano
Yonidebot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: על ידי;
שורה 44:
את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin<ref>&rlm;T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).</ref> בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג R קבוצות <math>\ R_n</math>, כאשר <math>\ R_0=\{0\}</math>, ואילו <math>\ R_n</math> היא קבוצת כל האיברים a, שעבורם לכל מחלקה ב[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/Ra</math> יש נציג מן הקבוצה <math>\ R_{n-1}</math>. בפרט, <math>\ R_1-\{0\}</math> היא קבוצת האברים ההפיכים של החוג. לפי Motzkin, חוג הוא אוקלידי אם ורק אם כל איבר שלו שייך לאחת הקבוצות בסדרה זו.
 
בדיקת האוקלידיות כאשר d פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות R הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית d אם ורק אם [[שדה שברים|שדה השברים]] F של R מכוסה כולו על- ידי ה"כדורים" <math>\ B(a)=\{x\in F| d(x-a)<1</math> שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" <math>\ a\in R</math>. מקריטריון זה נובע שאם R אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג <math>\ R \subseteq R' \subseteq F</math> גם הוא אוקלידי.
 
== מקורות ==