חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 14 שנים
מ
בוט החלפות: על ידי;
מ (בוט החלפות: דוגמה; קובייה;)
מ (בוט החלפות: על ידי;)
== תכולתה של חבורת הסימטריות ==
 
בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע ב[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] שבו האובייקט מופיע. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על- ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו. דרישה זו הופכת את כל חבורות הסימטריה של אובייקטים במרחב X, לתת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים של X, ולכן יש לחבורות האוטומורפיזמים של מרחבים חשובים (כגון [[המרחב האוקלידי]]) מעמד מרכזי בחקר הסימטריות.
 
כדי לקבוע את הרכבה המדויק של חבורת הסימטריות, יש לקבוע בנוסף לדרישות המרחביות עוד שני תנאים: (1) מהן התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור; (2) מהם הקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו.
== חבורות הסימטריה של המרחבים האוקלידיים ==
 
חבורת הסימטריות של [[מרחב מטרי]] נקראת '''חבורת האיזומטריות''' של המרחב, והיא כוללת את כל הפונקציות ההפיכות <math>\ f : X\rightarrow X</math>, השומרות על ה[[מטריקה]] d: <math>\ d(f(x),f(y))=d(x,y)</math>. במרחב האוקלידי V (עם המטריקה המושרית על- ידי ה[[נורמה]] הסטנדרטית), חבורת האיזומטריות היא אוסף כל הפעולות <math>\ x\mapsto Ax+v</math> כאשר <math>\ A\in O_n(\mathbb{R})</math> היא [[מטריצה אורתוגונלית]], ו- <math>\ v\in V</math>. החבורה מורכבת משתי תת-חבורות: אוסף ההזזות <math>\ x\mapsto x+v</math>, שהוא [[תת חבורה נורמלית]], איזומורפית למרחב עצמו, וחבורת הסיבובים <math>\ O_n(\mathbb{R}) = \{A: AA^t=I\}</math>, שהיא [[חבורת לי]] [[חבורה קומפקטית|קומפקטית]] מממד <math>\ \binom{n-1}{2}</math>.
 
== ראו גם ==
271,876

עריכות