חוג דדקינד – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: אידאל; על ידי; |
|||
שורה 29:
כל [[תחום ראשי]] הוא [[תחום פריקות יחידה]], אבל ההיפך אינו נכון (למשל, חוג הפולינומים בשני משתנים x,y מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה, אבל האידאל <math>\ <x,y></math> אינו ראשי). בחוגי דדקינד שתי התכונות שקולות: חוג דדקינד הינו תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא תחום ראשי.
חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידאל של חוג דדקינד נוצר על
== חבורת מחלקות האידאלים ==
שורה 35:
חבורת המחלקות של חוג דדקינד <math>\ R</math> מודדת עד כמה החוג אינו ראשי. יהי K שדה השברים של R. '''אידאל שברי''' של <math>\ R</math> הוא, על-פי ההגדרה, <math>\ R</math>-תת-[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] <math>\ I</math> של <math>\ K</math> כך שעבור <math>\ R \ni d</math> מתאים, מתקיים <math>\ dI=\{da | a \in I \} \subset R</math>. למשל, כל אידאל (רגיל) של R הוא גם אידאל שברי.
נסמן ב-<math>\ Id(R)</math> את קבוצת האידאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידאלים. כך הופכת קבוצה זו למונויד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידאל שברי הוא אידאל הפיך, זוהי [[חבורה אבלית]] - ומתכונת הפירוק היחיד של אידאלים נובע שהיא [[חבורה אבלית חופשית]] הנוצרת על
קבוצת האידאלים השבריים הראשיים, שלהם הצורה <math>\ bR = \{ ba \ | \ a \in R \}</math> עבור <math>\ K \ni b \ne 0</math>, היא תת-חבורה של <math>\ Id(R)</math>. '''חבורת מחלקות האידאלים''' <math>\ Cl(R)</math> של <math>\ R</math> היא חבורת המנה של <math>\ Id(R)</math> ביחס לחבורת האידאלים הראשיים.
שורה 42:
נניח שחבורת מחלקות האידאלים של <math>\ R</math> היא סופית. נבחר נציגים <math>\ I_1,...,I_m</math> של מחלקות האידאלים (ניתן לבחור אותם להיות אידאלים אמיתיים של R); ניקח <math>\ b\neq 0</math> איבר כלשהו ב- <math>\ \cap I_i</math>, ו-
<math>\ S = \{1,b,b^2, ... \}</math> המונויד הנוצר על
== מודולים מעל חוג דדקינד ==
כל [[סריג (תורת המודולים)|סריג]] מעל חוג דדקינד R (דהיינו, [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] [[מודול נוצר סופית|נוצר סופית]] ו[[פיתול (תורת המודולים)|חסר פיתול]]) הוא [[סכום ישר]] של
אם <math>\ N\subseteq M</math> מודולים כנ"ל מאותה דרגה, אז קיימים <math>\ e_1,\dots,e_m \in M</math>,
<math>\ I_i</math> נקבעים באופן חד-משמעי, והם נקראים '''הגורמים האינווריאנטיים''' של N ב-M.
|