חוג דדקינד – הבדלי גרסאות

חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידאל של חוג דדקינד נוצר על- ידי שני אברים לכל היותר. יתרה מזו: אם <math>\ 0 \ne J \subset I \subset R </math> אידאלים בחוג דדקינד, אז קיים <math>\ a\in R</math> כך ש-<math>\ I=J+Ra</math>. לכל אידאל I בחוג דדקינד, קיים אידאל J כך שהמכפלה IJ היא אידאל ראשי. (יותר מזה, ניתן לבחור <math>\ J</math> להיות זר לכל אידאל <math>\ A</math>; או כך ש-<math>\ Ra = IJ</math> לכל עבור <math>\ a</math> איבר ב-<math>\ I</math>). חוג דדקינד בעל מספר סופי של אידאלים ראשוניים הוא ראשי. אם חבורת המחלקות (ראו להלן) סופית, אפשר להפוך את החוג לראשי באמצעות היפוך של איבר אחד.

נסמן ב-<math>\ Id(R)</math> את קבוצת האידאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידאלים. כך הופכת קבוצה זו למונויד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידאל שברי הוא אידאל הפיך, זוהי [[חבורה אבלית]] - ומתכונת הפירוק היחיד של אידאלים נובע שהיא [[חבורה אבלית חופשית]] הנוצרת על- ידי אוסף האידאלים הראשוניים של החוג. ([[אמי נתר]] הוכיחה ש[[תחום שלמות]] שלקבוצת אידאלים שברים שלו עם פעולת הכפל יש מבנה של חבורה הינו חוג דדקינד).

<math>\ S = \{1,b,b^2, ... \}</math> המונויד הנוצר על- ידי b. אז <math>\ Id(S^{-1}R)</math> הוא [[תחום ראשי]].

כל [[סריג (תורת המודולים)|סריג]] מעל חוג דדקינד R (דהיינו, [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] [[מודול נוצר סופית|נוצר סופית]] ו[[פיתול (תורת המודולים)|חסר פיתול]]) הוא [[סכום ישר]] של אידיאליםאידאלים שבריים. אם <math>\,A_i</math> אידיאליםאידאלים שבריים, הסכום <math>\ A_1\oplus \cdots \oplus A_m</math> תלוי רק בדרגה m ובמכפלה <math>\ A_1\dots A_m</math> בחבורת המחלקה. בפרט, כל סריג מעל R הוא מהצורה <math>\ R^n\oplus I</math>, כאשר I אידיאלאידאל שלם של R.

אם <math>\ N\subseteq M</math> מודולים כנ"ל מאותה דרגה, אז קיימים <math>\ e_1,\dots,e_m \in M</math>, אידיאליםאידאלים שבריים <math>\ A_1,\dots,A_m</math>, ואידיאליםואידאלים שלמים <math>\ I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_m</math>, כך ש- <math>\ M=a_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_me_m</math> ו- <math>\ N=a_1I_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_mI_me_m</math>. האידיאליםהאידאלים