המשוואה הפונקציונלית של קושי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ בוט החלפות: לינארי; הווקטור; על ידי; כמו כן; |
||
שורה 3:
זוהי אחת המשוואות הפונקציונליות הפשוטות ביותר להצגה, אך פתרונותיה הלא-רציפים מדגימים פתולוגיות המשותפות למשוואות פונקציונליות רבות אחרות.
כמו בכל משוואה פונקציונלית אחרת, הבעיה היא למצוא את הפונקציות <math>\ f</math> המקיימות את התנאי שהוזכר לעיל. מעל ה[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]], כלומר, עבור פונקציות <math>\ f : \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}</math>, ניתן להראות בנקל שכל פתרון הוא
* <math>\ f</math> [[רציפות|רציפה]] בכל מקום.
שורה 29:
==מאפיינים של פתרונות אחרים==
נראה כעת כי כל פתרון אחר למשוואה מעל הממשיים הוא פתולוגי ביותר. ספציפית, נראה כי עבור כל פתרון אחר למשוואה, הגרף שלו (כלומר, קבוצת הזוגות הסדורים <math>(x,f(x)) \in \mathbb{R}^2</math>) הוא [[קבוצה צפופה]] ב- <math>\mathbb{R}^2</math>: כל עיגול במישור, אפילו קטן ביותר, מכיל נקודה של הגרף. מכאן ברור כל פתרון שבו הגרף אינו צפוף (כגון, אם הפונקציה מקיימת אחד מן התנאים הנוספים שהוזכרו לעיל), מוכרח להיות
נניח, על
נסמן <math>\ \delta = f(\alpha) - \alpha</math> (כך ש- <math>\ \delta \neq 0</math>). כעת נראה איך למצוא נקודה השייכת לגרף הפונקציה במעגל שרירותי, אשר מרכזו <math>\ (x,y)</math> ורדיוסו <math>\ r</math>, כאשר <math>\ x,y,r \in \mathbb{Q}, r > 0 , x \ne y</math>. כל מעגל במישור מכיל מעגל שכזה.
שורה 37:
נסמן <math>\ \beta = \frac {y-x}{\delta}</math> ונבחר מספר רציונלי <math>\ b \ne 0</math>, קרוב מספיק ל- <math>\beta</math>, כך שיתקיים <math>\ |\beta - b| < \frac {r}{2 |\delta|}</math>.
כמו
נסמן <math>\ X = x + b(\alpha - a)</math> ו-<math>\ Y = f(X)</math> וכעת, תוך שימוש במשוואה הפונקציונלית, נקבל כי:
שורה 55:
נתאר כעת את כל הפונקציות המקיימות את המשוואה. כידוע, <math>\mathbb{R}</math> ו- <math>\mathbb{Q}</math> הם [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] ו- <math>\mathbb{Q}</math> הוא תת-שדה של <math>\mathbb{R}</math>. על כן, ניתן להסתכל על <math>\mathbb{R}</math> כעל [[מרחב וקטורי]] מעל <math>\mathbb{Q}</math>.
ראינו לעיל שכל פתרון f מקיים את תנאי ההומוגניות <math>\ f(mx)=mf(x)</math> לכל סקלר רציונלי m ולכל מספר ממשי x. אם כך, f היא [[העתקה
יהי <math>\ B</math> [[בסיס המל]] למרחב וקטורי זה. כל העתקה
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
| |||