פונקציה מדידה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
MathKnight (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
במתימטיקה, '''פונקצית מדידה''' היא [[פונקציה]] [[מוגדרת היטב]] בין [[מרחב מדיד|מרחבים מדידים]]. פונקציות ''שאינן'' מדידות ונלמדות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] נחשבות פתולוגיות.
אם <math>\ A_X</math> הוא [[סיגמא-אלגברה|σ-אלגברה]] מעל <math>\ X</math> ו-<math>\ A_Y</math> הוא <math>\ \sigma</math>-אלגברה מעל <math>\ Y</math>, אז פונקציה <math>\ f: X \to Y</math> היא ''מדידה'' אם התמונה ההפוכה של כל קבוצה ב-<math>\ A_Y</math> נמצאת ב-<math>\ A_X</math>, כלומר: <math>\ \forall V \in A_y \ : \ f^{-1}(V) \in A_x</math>.
ככלל, אם <math>\ Y</math> הוא [[מרחב טופולוגי]], כמו לדוגמא מרחב [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> או [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}</math>, נשתמש ב[[קבוצת בורל|סיגמא-אלגברה של בורל]] שנוצרת על הקבוצות הפתוחות על <math>\ T</math>, אלא אם צוין אחרת.
ההרכבה של שתי פונקציות מדידות היא מדידה.▼
רק על פונקציות מדידות ניתן לבצע [[אינטגרל|אינטגרציה]]. [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] הם פונקציות מדידות לפי הגדרתם על [[מרחב הסתברות|מרחבי הסתברות]].▼
אם פונקציה ממרחב טופולוגי אחד לאחר היא מדידה עם התייחסות ל<math>\ \sigma</math>-אלגברה של בורל בשני המרחבים, הפונקציה היא '''פונקציית בורל'''. פונקציות [[רציפות]] הן פונקציות בורל, אך לא כל פונקציית בורל רציפה.
'''תכונות''':
▲* ההרכבה של שתי פונקציות מדידות היא מדידה.
▲* רק על פונקציות מדידות ניתן לבצע [[אינטגרל|אינטגרציה]]. [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] הם פונקציות מדידות לפי הגדרתם על [[מרחב הסתברות|מרחבי הסתברות]].
==ראו גם==
| |||