מטריצה אורתוגונלית – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 14 שנים
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל <math>\ n\times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[כפל מטריצות|כפל]], והוא מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[חבורה אלגברית|אלגברית]] שמקובל לסמן ב- <math>\ O_n(F)</math>. מעל [[שדה המספרים הממשיים]], <math>\ O_n(\mathbb{R})</math> היא [[חבורה קומפקטית]].
 
ה[[דטרמיננטה]] של מטריצה אורתוגונלית היא 1 או <math>\ -1</math>. המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה <math>\ SO_n(F)</math> של <math> O_n(F)</math>. בשדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שונה מ-2, <math>\ SO_n(F) \lefttriangletriangleleft O_n(F)</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). ה[[מטריצה סקלרית|מטריצות הסקלריות]] האורתוגונליות הן <math>\ \pm I</math>, ומגדירים את חבורות המנה <math>\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle</math> ו- <math>\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))</math>.
 
המטריצה <math>\ -I</math> שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math> אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math> שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math> ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.