מטריצה אורתוגונלית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
 
המטריצה <math>\ -I</math> שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math> אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math> שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math> ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.
 
=== המקרה n=2 ===
 
מעל שדה המספרים הממשיים, <math>\ SO_2</math> כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא [[חבורה אבלית|אבלית]], איזומורפית לחבורה המעגלית <math>\ S^1</math> של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם ל[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>. ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות <math>\ z \equiv -z</math>) נותן את אותה חבורה, ולכן <math>\ SPO_2(\mathbb{R}) \cong \SO_2(\mathbb{R})</math>. החבורה <math>\ O_2(\mathbb{R})</math> כוללת איבר נוסף, <math>\ \tau = \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}</math>, המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של <math>\ \tau</math> בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן <math>\ PO_2((\mathbb{R}) \cong O_2(\mathbb{R})</math>.
 
==ראו גם==