אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות

נוספו 117 בתים ,  לפני 16 שנים
מ
אין תקציר עריכה
 
מ
'''אקסיומות המניה''' הן הנחות המתייחסות לגודל של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] מיוחדות ב[[מרחב טופולוגי]], ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן [[קבוצה בת מניה|בנות מניה]]. מרחבים בעלי תכונות מניה חזקות הם כביכול 'קטנים' יותר, ולכן קלים יותר לטיפול.
 
'''אקסיומת המניה הראשונה''' קובעת שסביב כל נקודה של המרחב הטופולוגי יש בסיס מקומי בן מניה. אקסיומה זו מתקיימת בכל [[מרחב מטרי]].
 
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, '''אקסיומת המניה השניה''' קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מניה. האקסיומה השניה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השניה ובנוסף לזה את [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] <math>\ T_3</math> הוא מרחב מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקהמ[[מטריקה]] מתאימה).
 
==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה==
 
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס מקומי לטופולוגיה|בסיס מקומי]] בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
 
==אקסיומות המניה==
 
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> קובע שמרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה <math>\ T_3</math>, הוא מטריזבילי.
 
[[קטגוריה:טופולוגיה]]