חבורה יסודית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Thijs!bot (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: pl:Grupa podstawowa
מ לינק לערך על הומוטופיה ושינויי נוסח קלים
שורה 7:
 
עבור ההגדרה הפורמלית, נניח כי ''X'' הוא [[מרחב טופולוגי]] וכי <math>\,x_0 \in X</math>. [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] <math>\,f:[0,1]\rightarrow X</math> תיקרא '''לולאה''' עם '''נקודת בסיס''' <math>\,x_0</math> אם מתקיים <math>\,f(0) = f(1) = x_0</math>.
בהינתן 2 לולאות <math>\,f,g:[0,1]\rightarrow X</math> עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>, נאמר ש''f'' ו-''g'' הן '''שקולות הומוטופית'''[[הומוטופיה|הומוטופיות]] אם קיימת פונקציה רציפה <math>\,h:[0,1] \times [0,1] \rightarrow X</math> כך שלכל <math>\,t\in [0,1]</math> מתקיים ש<math>\,h(t,0) = f(t)</math>, <math>\,h(t,1)=g(t)</math>, וכמו כן <math>\,h(0,t)=h(1,t)=x_0</math>. במקרה זה, ''h'' תיקרא הומוטופיה בין ''f'' ל''g''. שקילותהיחס הומוטופיתשהגדרנו מגדירהמהווה [[יחס שקילות]] על קבוצת כל הלולאות על ''X'', ואיבריומחלקות אוסףהשקילות מחלקות השקילותמהוות הםאת איברי החבורה היסודית של ''X'' ביחס לנקודת הבסיס <math>\,x_0</math>. מבחינה אינטואיטיבית, ניתן לראות בפרמטר השני של הפונקציה ''h'' פרמטר המתאר את הזמן, כך שבזמן 0 אנו נמצאים בלולאה ''f'', בזמן 1 בלולאה ''g'', ובדרך אנו עוברים בצורה רציפה (דרך לולאות עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>) מ''f'' אל ''g'', כך שניתן להפוך את ''f'' ל''g'' בצורה רציפה.
 
נגדיר פעולה על אוסף מחלקות השקילות באופן הבא: