ויקיפדיה

חבורה יסודית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שינויי נוסח ועימוד
שכתוב קל לפנקטוריליות
שורה 30:
==פונקטוריאליות==
 
נניח ש- <math>\,(X,x_0)</math> ו- <math>\,(Y,y_0)</math> זוג מרחבים מנוקדים. כלומר X ו-Y מרחבים טופולוגיים, ו-<math>\,x_0 \in X, y_0 \in Y</math> נקודות בתוכם.
אם <math>\,f:X\rightarrow Y</math> היא פונקציה רציפה, <math>\,x_0 \in X, y_0 \in Y</math> ומתקיים <math>\,f(x_0) = y_0</math>, בהינתן לולאה ''g'' ב''X'' עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>, נוכל להגדיר לולאה <math>f\circ g</math> ב''Y'' עם נקודת בסיס <math>\,y_0</math>. בדרך זו מתקבל [[הומומורפיזם]] בין החבורות <math>\,\pi_1(X,x_0)</math> ו-<math>\,\pi_1(Y,y_0)</math> הנקרא ההומומורפיזם המושרה על ידי ''f'' והמסומן על ידי <math>\,\pi(f)</math>, או בצורה היותר נפוצה:▼
אם <math>\,f:X\rightarrow Y</math> היא פונקציה רציפה המקיימת <math>\,f(x_0) = y_0</math>, אז בהינתן לולאה <math>\,\varphi</math> ב''X'' עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>, נקבל ש- <math>\,f\circ \varphi</math> היא לולאה ב''Y'' עם נקודת בסיס <math>\,y_0</math>.
 
▲אםניתן <math>\,f:X\rightarrowלהראות Y</math>שהתאמה היאזו פונקציהבין רציפה,המסילות <math>\,x_0של \inהמרחבים X,שולחת y_0מסילות \inהומוטופיות Y</math>(ביחס ומתקייםלנקודת <math>\,f(x_0הבסיס) =למסילות y_0</math>הומוטופיות, בהינתןומכבדת לולאהאת ''g''פעולת ב''X''ההרכבה עםשהגדרנו נקודתעל בסיס <math>\,x_0</math>, נוכל להגדיר לולאה <math>f\circ g</math> ב''Y'' עם נקודת בסיס <math>\,y_0</math>המסילות. בדרך זולכן מתקבל [[הומומורפיזם]] בין החבורות <math>\,\pi_1(X,x_0)</math> ו-<math>\,\pi_1(Y,y_0)</math> הנקרא ההומומורפיזם המושרה על ידי ''f'' והמסומן על ידי <math>\,\pipi_1(f)</math>, או בצורה היותר נפוצה:
 
<math>\,f_* : \pi_1(X,x_0) \rightarrow \pi_1(Y,y_0)</math>.
 
אפשרתכונה להראותחשובה כישל ההומורפיזם שתארנו היא ש- <math>\,\pi_1(f \circ g) = \pi_1(f) \circ \pi_1(g)</math>. בשפת [[תורת הקטגוריות]] נאמר, ש-<math>\,\pi_1</math> הוא [[פונקטור]] מ[[קטגוריה (מתמטיקה)|הקטגוריה]] של מרחבים טופולוגים מנוקדים לקטגוריה של חבורות. (שימו לב, שהפונקטור <math>\,\pi_1</math> פועל גם על מרחבים טופולוגיים מנוקדים וגם על [[מורפיזם | מורפיזמים]] בין מרחבים טופולוגיים מנוקדים, כלומר על העתקות רציפות המשמרות את נקודת הבסיס)
 
מתברר שפונקטור זה אינו מבחין בין פונקציות [[הומוטופיה|הומוטופיות]] ביחס לנקודת בסיסהבסיס. כלומר, אם <math>\,f,g:X\rightarrow Y</math> הן פונקציות רציפות כך ש <math>\,f(x_0) = g(x_0) = y_0</math> שהן הומוטופיות ביחס ל <math>\,\{x_0\}</math>, אז מתקיים <math>\,f_* = g_*</math>.
 
==לקריאה נוספת==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חבורה_יסודית"