שדה ארכימדי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: על ידי; |
|||
שורה 27:
'''הוכחה''': נניח ש- <math>\ x\in K</math>. מן הארכימדיות של <math>\ K</math> נובע שהקבוצה <math>\ A=\{a \in F : a < x\}</math> חסומה על ידי מספר טבעי, ולכן היא חסומה גם ב- <math>\ F</math>. נסמן ב- <math>\ t\in F</math> את החסם העליון שלה. אם <math>\ x>t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ x-t>1/n</math> ואז <math>\ t+1/n\in A</math>, סתירה להגדרת <math>\ t</math>. מצד שני אם <math>\ x<t</math> אז קיים <math>\ n</math> טבעי כך ש- <math>\ t-x>1/n</math> ואז <math>\ A < t-1/n</math>, שוב סתירה. לכן <math>\ x=t\in F</math>.
לכל שדה ארכימדי <math>F</math> אפשר לבנות את השדה <math>\ \hat{F}</math> של [[חתכי דדקינד]] ב-<math>F</math>. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה <math>\ \mathbb{R}=\hat{\mathbb{Q}}</math> של [[שדה המספרים הרציונליים|שדה הרציונליים]]. מכיוון ש- <math>F</math> מכיל עותק של <math>\ \mathbb{Q}</math>, יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\ \mathbb{R}=\
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
| |||