חבורה אבלית נוצרת סופית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית הועבר לחבורה אבלית נוצרת סופית: שילוב בערך מקיף יותר |
תוספת רקע |
||
שורה 1:
ב[[תורת החבורות]], '''חבורה אבלית נוצרת סופית''' היא [[חבורה אבלית]], שאפשר ליצור את כל אבריה באמצעות פעולת הכפל, ממספר סופי של אברים נתונים. בניגוד ל[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] שאינן אבליות, המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית מוכר וידוע, וניתן למיין אותן באופן מלא. כל חבורה כזו מתפרקת ל[[סכום ישר]] של חבורה אבלית סופית ושל מספר עותקים של ה[[חוג המספרים השלמים|החבורה הציקלית האינסופית]]. בתורן, החבורות האבליות הסופיות נבנות כסכומים ישרים של [[חבורה ציקלית|חבורות ציקליות]] סופיות.
==מבוא==
'''[[חבורה]]''' היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] איברים עם [[פעולה בינארית]] המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון [[החבורה הסימטרית]] <math>\ S_n</math>, [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>\ \mathoperator{GL}_n(F)</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או החבורה של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבלית, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את האקסיומה <math>\ ab = ba</math>; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאד. הדוגמא השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).
המשפט מראה כי כל חבורה שמקיימת את שתי הדרישות הללו זהה, עד כדי החלפת הסימון בו משתמשים כדי לתאר אותה, לחבורה שמורכבת מ[[סכום ישר|סכום]] של [[חבורה ציקלית|חבורות ציקליות]]. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאוד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל על הבדיקה האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - פשוט על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.
== פיתול ==
בניסוחו הפורמלי, המשפט קובע כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית <math>\ G</math> [[איזומורפיזם (מתמטיקה)#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לסכום ישר של חבורות ציקליות מהצורה הבאה:▼
בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האברים <math>\ a \in A</math> שעבורם קיים <math>\ 0 \neq n\in \mathbb{Z}</math> כך ש- <math>\ na = 0</math>. אלו ה'''איברים המפותלים''' של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, <math>\ A_{\operatorname{tor}}</math>. אם יש כאלה (פרט ל- 0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה '''מפותלת'''. חבורה '''חסרת פיתול''' היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה <math>\ A/A_{\opertorname{tor}}</math> היא תמיד חסרת פיתול.
:<math>\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}</math>▼
כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות [[איזומורפיזם (מתמטיקה)#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו. מאידך, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.
כאשר <math>\ r\ge 0</math> והמספרים <math>\ p_1^{k_1},\dots ,p_n^{k_n}</math> הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]. עבור כל חבורה העונה על תנאי המשפט, המספרים <math>\ r,p_1^{k_1},\dots, p_n^{k_n}</math> נקבעים בצורה יחידה.▼
== הדרגה ==
קבוצה שאפשר ליצור ממנה את כל אברי החבורה נקראת '''קבוצת יוצרים'''. גודלה של הקבוצה הקטנה ביותר היוצרת את החבורה הוא ה'''דרגה''' של החבורה (לחבורה יש דרגה סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית). למשל, דרגתה של החבורה <math>\ \mathbb{Z}^5</math> היא 5, ואילו הדרגה של <math>\ \mathbb{Z}/14\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}</math> היא 2. כל חבורה אבלית מדרגה r מהווה [[חבורת מנה]] של '''החבורה האבלית החופשית מדרגה r''',
<math>\ \mathbb{Z}^r</math>.
==משפט המיון==
▲
▲:<math>\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}</math>,
▲כאשר <math>\ r\ge 0</math> והמספרים <math>\ p_1^{k_1},\dots ,p_n^{k_n}</math> הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].
צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים <math>\ p_1^{k_1},\dots,p_n^{k_n}</math> נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, <math>\ G</math> איזומורפית לסכום הישר הבא:
שורה 28 ⟵ 36:
==דוגמאות==
*כל חבורה אבלית סופית
**קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3</math> ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטיים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_6</math>. לא קשה להשתכנע ששתי ההצגות איזומורפיות.
**כל חבורה אבלית סופית בת 90 איברים איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
שורה 37 ⟵ 45:
*אוסף הנקודות הרציונליות על [[עקום אליפטי]] עם פעולה מתאימה מהווה, על פי [[משפט מורדל-וייל]], חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל-<math>\ r</math> שבחלק <math>\ \mathbb{Z}^r</math> של החבורה. השערה מפורסמת ב[[תורת המספרים]] בשם [[השערת בירץ' וסווינרטון-דייר]] היא ש-<math>\ r</math> שווה לסדר האפס של [[פונקציה מרוכבת]] מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה <math>\ s=1</math>.
===הוכחה===
הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת ה[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>\ \mathbb{Z}</math>.
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
{{נ}}
| |||