|
'''סדרת פל''' ו'''סדרת פל -לוקאס''' הן [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], שהן מקרים פרטיים של [[סדרת לוקאס]]. מספר טבעי המשתייך לסדרת פל נקרא '''מספר פל'''. מספרי פל מוכרים כבר מן [[העת העתיקה]], והם משמשים בעיקר לחישוב קירובים ל[[שורש (מתמטיקה)|שורש הריבועי]] של 2.
סדרת פל היאמתחילה [[רקורסיה|סדרהבמספרים רקורסיבית]]<math>\ המתחילהP_0 במספרים= 0</math> ו-1 ולאחר<math>\ מכןP_1 כל= איבר1</math>, בסדרהומוגדרת הואעל-פי סכוםהנוסחה שלה[[רקורסיה|רקורסיבית]] פעמיים<math>\ האיברP_{n+1} הקודם= ופעם אחת האיבר הקודם לו2P_{n}+P_{n-1}</math>. תחילתהכך של סדרת פל היאמתקבלים המספרים: [[0 (מספר)|0]], [[1 (מספר)|1]], [[2 (מספר)|2]], [[5 (מספר)|5]], [[12 (מספר)|12]], [[29 (מספר)|29]], [[70 (מספר)|70]], 169, 408, 985, ..., שתכונתם המעניינת היא ש- <math>\ 2\cdot P_n^2 + 1</math> הוא [[מספר ריבועי|ריבוע]].
היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ל[[יחס הכסף]], ששווה<math>\ לשורש שתיים ועוד אחת\sqrt{2}+1</math>.
הנוסחה המייצגת הגדרה זו משקפת את אופיה הרקורסיבי:
:<math>P_n=\begin{cases}0\mbox{,}&n=0;\\1\mbox{,}&n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}\mbox{,}&n>1.\end{cases}</math>
כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף לינארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי [[סדרה הנדסית|סדרות הנדסיות]]:
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>
==סדרת פל -לוקאס==
סדרת פל לוקאס מוגדרת על ידי אותה משוואה כמו סדרת פל, אך יש לה תנאי פתיחה שונים, הסדרה מתחילה ב-2, 2 במקום ב 0, 1.
נוסחת סדרת פל-לוקאס היא:
:<math>P_n=\begin{cases}2\mbox{,}&n=0;\\2\mbox{,}&n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}\mbox{,}&n>1.\end{cases}</math>
תחילתהסדרת שלפל לוקאס מוגדרת על ידי אותה נוסחת רקורסיה כמו סדרת פל-לוקאס, היאאך המספריםיש לה תנאי פתיחה שונים: <math>\ P_0 = P_1 = 2</math>, והיא ממשיכה במספרים [[2 (מספר)|2]], [[2 (מספר)|2]], [[6 (מספר)|6]], [[14 (מספר)|14]], [[34 (מספר)|34]], [[82 (מספר)|82]], 198, 478, ...
[[קטגוריה:סדרות של שלמים|פל]]
|
