פונקציה מרוכבת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 19:
:<math>\ cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math> <br>
עבור פונקציית ה[[לוגריתם]] יש בעיה של רב-ערכיות, כיוון ש<math>\ e^z</math> איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של <math>\ e^z</math> לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ <math>\ 2\pi</math>. על תחום כזה <math>\ e^z</math> [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד-ערכית ועל]] ולכן [[פונקציה הפיכה|הפיכה]].
ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: <math>\ z^w = e^{wln z}</math> כאשר <math>\ z,w</math> מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו <math>\ Im ln z \in [0,2\pi )</math>) מתקבל:
:<math>\ (-1)^i=e^{i ln(-1)}=e^{i \cdot i\pi}=e^{-\pi}</math>
| |||