תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

מ
←‏תכונות: ועדת קישוט
מ (←‏תכונות: ועדת קישוט)
 
==תכונות==
תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: לכל תת-חבורה נורמלית <math>\ N</math> של <math>\ G</math>, המנה <math>\ G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>\ G' \subseteq N</math>. חבורת המנה <math>\ G/G'</math> נקראת ה'''אבליניזציה''' של <math>\ G</math>.
 
מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>\ f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>\ f(G')\subset H'</math>. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- <math>\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>\ (G/N)'=G'N/N</math>.
אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.
 
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
<math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
 
=== השערת Ore ===