פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

הוסר בית אחד ,  לפני 13 שנים
מ (בוט החלפות: תרגום מאפיין thumb; תרגום מאפיין left; על ידי;)
 
כעת נניח ש-<math>\,x_0</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקציית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שהמרחק מ-<math>\,x_0</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ-<math>\ \delta</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
# <math>\,x\notin\mathbb{Q}</math> ואז <math>\,f(x)=0</math>, ומכאן <math>|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>.
# <math>\ x=r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\ \delta</math>, אז <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math> ו-<math>\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>, כלומר, אם <math>\,|r-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(r)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
 
משתמש אלמוני