חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקנתי לפי הוויקי האנגלית |
|||
שורה 36:
(ביחס לפונקציה אחרת, מסובכת בהרבה). עדיין לא ידוע מיון שלם של החוגים האוקלידיים ממשפחה זו.
את [[חוג שלמים|חוגי השלמים]] של שדות מספרים אפשר לסדר לפי הדרגה של [[חבורת יחידות של חוג|חבורת היחידות]] שלהם, שהיא סופית על-פי [[משפט היחידות של דיריכלה]]. חבורת יחידות סופית, בעלת דרגה 0, יש רק לחוגי השלמים של השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>, כאשר D מספר שלם שלילי. במקרה זה ידוע שיש תשעה חוגי שלמים [[תחום ראשי|ראשיים]]: <math>\ D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163</math>, שמהם רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים (הראשון ברשימה הוא [[חוג השלמים של גאוס]]), וכל אלה אוקלידיים על-פי הנורמה[http://planetmath.org/encyclopedia/QuadraticImaginaryEuclideanNumberFields.html].
על-פי ההשערה, בכל מקרה אחר (כלומר, כאשר חבורת היחידות מדרגה חיובית), החוג אוקלידי כל אימת שהוא ראשי. השערה זו נובעת מ[[השערת רימן המוכללת]]<ref>‏P.J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic Number Theory, pp. 321-332, Amer. Math. Soc, 1973.</ref>, והיא נכונה גם ללא הנחה חזקה זו כאשר דרגת החבורה 4 לפחות<ref>‏M. Harper and M. Ram Murty, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canad. J. Math. 56(1), 71-76, (2004).</ref>.
| |||