|
==דוגמאות==
כל [[חוג אוקלידי]] הוא חוג ראשי, ולכן [[חוג המספרים השלמים]] <math>\mathbb{Z}</math>, [[חוג השלמים של גאוס]] <math>\mathbb{Z}[i]</math>, וכל [[חוג פולינומים]] במשתנה יחיד מעל שדה נתון, הם חוגים ראשיים. מאידך, ישנם חוגים ראשיים, כגון <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]</math>, שהם ראשיים ואינם אוקלידיים.
כל [[חוג אוקלידי]] הוא חוג ראשי (ההיפך אינו נכון):
* [[חוג המספרים השלמים]] <math>\mathbb{Z}</math> הינו חוג ראשי.
* [[חוג הפולינומים]] במשתנה יחיד מעל שדה נתון הוא חוג ראשי.
* [[חוג השלמים של גאוס]] הוא חוג ראשי.
עם זאת, חוג הפולינומים ב -n משתנים (<math>\ n>1</math>) אינו חוג ראשי. קל לראות זאת על ידי התבוננות באידאל <math>\ (x,y)</math>. אידאל זה לא יכול להיות ראשי כי לא קיים פולינום המחלק גם את <math>\ x</math> וגם את <math>\ y</math> (והוא אינו כל החוג, כי הוא לא מכיל פולינומים ממעלה 0). גם חוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> אינו ראשי; לדוגמא, האידיאל <math>\ \left<2,1+\sqrt{-5}\right></math> אינו ראשי.
כפי שצויין, לא כל חוג ראשי הוא אוקלידי. לדוגמה, החוג <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]</math> הוא חוג ראשי שאינו אוקלידי.
==תכונות של תחומים ראשיים==
* כל חוג ראשי הוא [[תחום פריקות חד ערכית]], ולכל שני אברים ניתן למצוא [[מחלק משותף מקסימלי]] (אם כי לרוב הוא לא יחיד).
| 