חבורה חופשית – הבדלי גרסאות

'''חבורה חופשית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שקבוצת ה[[יוצרים של חבורה|יוצרים]] שלה <math>\ X</math> אינה מקיימת אף [[הצגה לפי יוצרים ויחסים|יחס]]. בחבורה כזו, כל איבר הוא מלה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים <math>\ x, x^{-1}</math> עבור <math>\ x\in X</math>, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה <math>\ xx^{-1}</math> או <math>\ x^{-1}x</math>. הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- <math>\ <\langle X>\rangle</math>. ראו גם [[מונואיד חופשי]]. <!-- הקישור דווקא צריך להיות כאן ולא בסוף. -->

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה [[עוצמה]], אז החבורות <math>\ <\langle X>\rangle</math> ו- <math>\ <\langle Y>\rangle</math> [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- <math>\ \mathbb{F}_n</math>. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא ה'''דרגה''' של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית <math>\ F</math> מסמנים ב- <math>\ rank(F)</math>. כך למשל <math>\ rank(\mathbb{F}_n)=n</math>.

המשפט הראשון בתחום שנקראהנקרא היום [[תורת החבורות הקומבינטורית]] הוא [[משפט שרייר]] (Schreier), הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה תמיד '''גדולה''' מזו של החבורה. אם <math>\ H \leq F</math> הן חבורות חופשיות, אז היחס <math>\ \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}</math> שווה ל[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] של H ב- F.

<math>\ \psi :F \rightarrow G</math> המקיים <math>\psi\circ\phi=f</math>, כאשר <math>\ \phi: X \rightarrow F</math> הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים [[אפימורפיזם]] <math>\ <\langle X>\rangle \rightarrow G</math>, ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כ[[חבורת מנה]] של חבורה חופשית. אם <math>\ G \cong F/N</math> כאשר <math>\ F=<\langle X>\rangle</math> חופשית, אז <math>\ N=<\langle R> \rangle</math> חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים '''יחסים''' של G. המנה <math>\ <\langle X>\rangle/<\langle R>\rangle</math> מסומנת ב- <math>\ <\langle X|R>\rangle</math> ונקראת '''[[הצגה לפי יוצרים ויחסים|הצגה]]''' של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).