אלגברה מדורגת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 9:
הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא [[חוג הפולינומים|אלגברת הפולינומים]] מעל השדה, <math>\ A = F[x]</math>. האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר <math>\ A = \oplus_{n=0}^{\infty} F x^n</math>, כאשר <math>\ Fx^n = \{\alpha x^n\}</math> הוא אוסף ה[[מונום|מונומים]] ממעלה n. פונקציית הדרגה מתאימה ל[[מעלה של פולינום|פונקציית המעלה]] המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: <math>\ \deg(\alpha x^n) = n</math>.
את התאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: <math>\ A = F[x_1,\dots,x_k]</math> מדורגת למרכיבים, כאשר <math>\ A_n</math> הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) n; למשל, כאשר k=2, <math>\ A_3 = F x_1^3+Fx_1^2x_2+Fx_1x_2^2+Fx_2^3</math>. כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם f,g שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה fg שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את <math>\ A=F[x,y]</math> באופן שהדרגה של <math>\ x</math> היא 2, והדרגה של <math>\ y</math> היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: <math>\ \deg(x^iy^j) = 2i+3j</math>). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא <math>\ A = F \oplus 0 \oplus F x \oplus Fy \oplus Fx^2 \oplus Fxy \oplus (Fx^3+Fy^2) \oplus \cdots</math>.
אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.
כל אלגברה A אפשר לדרג '''דירוג טריוויאלי''', אם בוחרים <math>\ A_0 = A</math> ו- <math>\ A_n = 0</math> לכל <math>\ n>0</math>. דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.
== אידאלים ומודולים ==
| |||