מתמטיקה של קיפולי נייר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ניסיון להכנסת המידע בערך |
|||
שורה 1:
{{לאחד לתוך|אוריגמי}}
אמנות '''קיפולי הנייר''', [[אוריגמי]], זכתה למחקר [[מתמטיקה|מתמטי]] ניכר. תחומי העניין המתמטיים כוללים את בדיקת היכולת לשטח את מודל הנייר מבלי להזיק לו (ב[[אנגלית]]: flat-foldability) והשימוש בקיפולי הנייר על מנת לפתור [[משוואה|משוואות מתמטיות]].אמנות האוריגמי הפכה למטרה למחקר [[מתמטיקה|מתמטי]] נרחב. המגבלות המקובלות בייצור דגמי אוריגמי יוצרות [[תנאי שפה]] רבים על יצירת דגמים, המאפשרים ניתוח מתמטי של תהליכי הקיפול.
===אתגרים מתמטיים===
קיימות בעיות מתמטיות רבות הנובעות מאמנות האוריגמי, וחלקן טרם נפתרו. למשל, '''בעיית הקיפול השטוח''', הבוחנת את אפשרות הקיפול של דגם דו-ממדי על פי תבנית קפלים נתונה. בעיה זו היא [[מחלקת סיבוכיות NPC|בעיה NP שלמה]], כלומר בעיה קשה במיוחד לפתרון <ref>Marshall Bern and Barry Hayes, [http://delivery.acm.org/10.1145/320000/313918/p175-bern.pdf?key1=313918&key2=4554488511&coll=portal&dl=ACM&CFID=489280&CFTOKEN=55285562 '''The complexity of flat origami'''], Proceedings of the seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, 175 - 183, 1996</ref> <ref>Jonathan Schneider, [http://www.sccs.swarthmore.edu/users/05/jschnei3/origami.pdf#search=%22flat-foldability%22 '''Flat-Foldability of Origami Crease Patterns'''], Swarthmore College Computer Society ,2004</ref>. בעיה אחרת, בעלת חשיבות מעשית רבה, היא בעיית "האוריגמי הקשיח", הבוחנת אפשרות יצירת דגמים מיחידות נוקשות שמחוברות ביניהן בצירים. לפתרון בעיה זו שימושים רבים ב[[אדריכלות]] וב[[הנדסה]].
בנית מודלים של אוריגמי דורשת, בדרך-כלל, קיפולים חוזרים מעטים בלבד. אחד האתגרים בתחום זה, [[קיפול נייר לשניים]] בשכבות רבות, נפתר רק ב- [[2001]], על ידי [[קיפול נייר לשניים|בריטני גאליבן]], בהיותה עדיין תלמידת תיכון . גאליבן ניסחה את [[פונקציית הפסד|פונקציית ההפסד]] עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד. הפונקציה מבוטאת על ידי הנוסחה <math>L = \frac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)</math>, כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים.
===אקסיומות הוזיטה-האטורי===
[[תמונה:Origami cubic root extraction.png|שמאל|ממוזער|350px|חישוב שורש שלישי באמצעות שיקוף זוג נקודות לזוג ישרים: <math>\ x^3=a</math>.]]
בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע [[אקסיומה|אקסיומות]] המגדירות את הפעולות ה[[גאומטריה|גאומטריות]] האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-[[1992]] על ידי המתמטיקאי היפני-[[איטליה|איטלקי]], [[הומיאקי הוזיטה]]<ref>Humiaki Huzita, '''Understanding Geometry through Origami Axioms''', Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy, J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37-70</ref>. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי [[קושירו האטורי]]:
# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, ניתן לקפל קו המחבר ביניהן.
# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, ניתן לקפל את P1 על גבי P2.
# בהינתן שני קווים L1 ו-L2, ניתן לקפל את L1 על גבי L2.
# בהינתן נקודה P וקו L, ניתן ליצור קפל המאונך ל-L שעובר דרך P.
# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2 וקו L, כך שמרחקה של P2 מ-L אינו עולה על מרחקה מ- P1, ניתן ליצור קפל העובר דרך P2 שימקם את P1 על גבי L1.
# בהינתן שתי נקודות, P1 ו-P2, ושני קווים, L1 ו-L2, ניתן ליצור (בתנאים מסוימים) קפל שימקם בו-זמנית את נקודה P1 על גבי L1 ואת נקודה P2 על גבי L2.
# בהינתן נקודה P1 ושני קווים L1 ו-L2, ניתן ליצור קפל שימקם את P1 על גבי L1 ובמאונך ל-L2.
שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על [[מישור (גאומטריה)|מישור]] כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד. ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.
הפעולות המתוארות באקסיומות 1-5 ו- 7 ניתנות לביצוע גם באמצעות [[בניה במחוגה וסרגל|מחוגה וסרגל]]: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת [[אנך אמצעי]] (2), העברת [[חוצה זווית]] (3), הורדת [[אנך]] (4), העברת [[משיק]] ל[[פרבולה]] דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר [[ישרים מקבילים|מקביל]] (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]] (ולכן גם [[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק [[משוואה ריבועית|משוואות ריבועיות]].
[[רוברט ג. לאנג]] הראה<ref>
Robert J. Lang, [http://www.langorigami.com/science/quintisection/quintisection.pdf '''Angle Quintisection'''], 2004 - הדגמה של חלוקת זווית לחמשה חלקים שווים תוך חריגה מהאקסיומות של הוזיטה-האטורי</ref> דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים על ידי קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי. בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים). את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.
<br />
בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי מחשב, פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד<ref>Roger C. Alperin, [http://nyjm.albany.edu:8000/j/2000/6-8.pdf '''A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers'''], New York Journal of Mathematics, '''6''':119-133, 2000</ref>. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר <math>\ a</math> באמצעות קיפולי נייר: ציירו מערכת צירים מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות <math>\ (0,2)</math> ו- <math>\ (a,1)</math>. כעת הפעילו את האקסיומה הששית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה- x, ואת הנקודה השנייה על הישר <math>\ x=-a</math>. שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה <math>\ (0,2)</math> לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק <math>\ 2\sqrt[3]{a}</math>.
כמה מ[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]], כמו למשל חלוקת [[זווית]] נתונה לשלושה חלקים שווים או בניית [[קובייה]] ש[[נפח]]ה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר. [[אקסיומה]] מספר שש ב[[אוריגמי#אקסיומות הוזיטה-האטורי|אקסיומות הוזיטה-האטורי]] מאפשרת למצוא [[משיק]] משותף לשתי [[פרבולה|פרבולות]], פעולה השקולה לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]] (ולכן גם [[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]).
שורה 10 ⟵ 38:
קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים ('''בעיית הקיפול השטוח''') הוכח על ידי [[מרשל ברן]] (Marshall Bern) ו[[ברי הייז]] (Barry Hayes) כ[[מחלקת סיבוכיות NPC|בעיית NP שלמה]], כלומר בעיה קשה במיוחד לפתרון [http://citeseer.ist.psu.edu/bern96complexity.html]. מידע נוסף ניתן למצוא בספר " Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra".
▲[[פונקציית הפסד|פונקציית ההפסד]] עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד מבוטאת על ידי הנוסחה <math>L = \frac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)</math>, כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים. פונקציה זו נוסחה על ידי [[קיפול נייר לשניים|בריטני גאליבן]] בשנת 2001 (בהיותה עדיין תלמידת תיכון) שהצליחה לקפל דף נייר לשניים 12 פעמים. הדעה המקובלת לפני כן הייתה שבלא להתחשב בסוג או בגודל הנייר ניתן לקפלו לא יותר משמונה פעמים.
| |||