משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות

: אם <math>\ L</math> הוא [[מרחב בנך]] ו-<math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו, ואם f<sub>0</submath>f_0 : M →\to R</math> הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על <math>\ M</math>, אזי קיימת לו הרחבה <math>f : L →\to R</math> רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: <math>\| f_0 \|_{L_0^{*}} = \| f \|_{L^{*}}</math> . זו היא מסקנה ישירה מכך ש[[פונקציונל]] הוא רציף [[אם ורק אם]] הוא חסום, כלומר: <math>\ f_0(x) \le \| f_0 \|_{*} \cdot \| x \|</math>, ומכך שה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] היא [[פונקציה תת-לינארית]] ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח [[תורת הקטגוריות|קטגורי]], ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]], <math>\,\mathbb{R}</math> הוא [[אובייקט אינג'קטיבי]].

: יהי <math>\ L</math> [[מרחב בנך]] ויהי <math>\ M</math> הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח [[קבוצה סגורה|סגור]]). תהי <math>\ z \notin \overline{M}</math> נקודה שאיננה ב[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של <math>\ M</math>, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) <math>\ f : M →\to R</math> כך ש: