יעקוביאן – הבדלי גרסאות

אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגראלה[[אינטגרל]] של פונקציה מורכבת.

לדוגמא: <math>\ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz</math> הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינגרציה באופן ישיר. לכן נסמן: <math>\ w = \frac{z}{3}</math>, <math>\ v = \frac{y}{2}</math> <math>\ u = \frac{2x-y}{2}</math>

<math>\ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (u+w) \cdot |J(u,v,w)| du dv dw = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (6u+6w) du dv dw = 12</math>

'''לסיכום''': כדי למצוא אינטגראל[[אינטגרל]] של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה ביעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקצות הקטנות שהגדרנו.