נקודת קיצון – הבדלי גרסאות

[[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]] קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרתה[[נגזרת]] שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע המשיקה[[משיק]] לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון - [[נגזרת]] יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא [[נקודת פיתול]] או אחרת.<br />

נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרתה[[נגזרת]] לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיקה[[משיק]], אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמא, הפונקציה: <math> f(x)=\sqrt[3]{x^2} \!</math> שנגזרתה: <math>f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}</math> <br />

ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל <math>\ x</math>, אך אינה גזירה בנקודה <math>\ x=0</math> שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיקל[[משיק]] בנקודה זו.<br /> היות והגבולוה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] החד צדדי של הנגזרת כאשר <math>\ x</math> שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו [[משיק אנכי]] לפונקציה.