משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

שכתוב והרחבה
מאין תקציר עריכה
(שכתוב והרחבה)
ב[[טופולוגיה]], '''משפט החיתוך של קנטור''' (הקרוינותן עלתנאי שמו שלשקול ל[[גאורגמרחב קנטורמטרי שלם|שלמות]]) הואשל תנאי הכרחי ומספיק ל[[מרחב מטרי שלם|שלמות]], במונחים של נקודה משותפת לסדרה יורדת של קבוצות. לפי משפט החיתוך, מרחב מטרי -הוא שלם [[אם ורק אם]] כל סדרה יורדת של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] במרחב מטרי, כך ש[[קוטר|קוטרן]] הקבוצות שואף לאפס, היא בעלת [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] לא ריק [[אם ורק אם]] המרחב שלם. משפט זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[הלמה של קנטור]] מ[[חשבון אינפיניטסימלי]], וקרוי על שמו של [[גאורג קנטור]].
 
==ניסוח פורמליהמשפט==
יהא <math>\!\,X</math> מרחב מטרי,. ותהאאז המרחב שלם אם ורק אם לכל סדרה <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרה של קבוצות סגורות, כך שמתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math>, כלומר, כל קבוצה מוכלת בקודמתה, וקוטר הקבוצות שואף לאפס: (דהיינו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>.) אז- <math>\!\,\bigcap_nקיימת A_n\ne\emptyset</math>נקודה אםהמשותפת ורקלכל אםהקבוצות. המרחבקל <math>\!\,X</math>לראות שלם.שבמקרה ניתןכזה, להראות שהחיתוךהחיתוך מכיל איבר אחדנקודה בדיוקיחידה.
 
== ההוכחה בקליפת אגוז ==
 
כאשר המרחב שלם ו- <math>\ \{A_n\}</math> היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר [[אקסיומת הבחירה|לבחור]] נקודה <math>\ x_n \in A_n</math> בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
 
בכיוון ההפוך, תהי <math>\ \{x_n\}</math> סדרת קושי נתונה. לכל <math>\ k</math> קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על <math>\ 2^{-(k+1)}</math>; נבחר את הקבוצה <math>\ A_k</math> להיות הכדור הסגור ברדיוס <math>\ 2^{-k}</math> סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.
 
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==
 
יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות <math>\ A_n</math> מהוות סדרה יורדת שבה '''הקוטר שואף לאפס''', אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות [[קומפקטיות|קומפקטיות]]: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות [[מרחב חסום לחלוטין|חסומות כליל]] תספיק, משום שהמרחב X שלם על-פי ההנחה.
 
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמא, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמא, הקבוצות <math>\ A_n = \{(a_1,a_2,\dots) : |a_i|\leq 1, a_1=\dots =a_n=1\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_1</math> - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
 
 
== הוכחה מפורטת ==
 
להלן הוכחה מפורטת למשפט החיתוך של קנטור.
 
==הוכחה==
===כיוון אחד===
נניח כי <math>\!\,X</math> מרחב מטרי שלם, ותהא <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה <math>\left\{x_n\right\}_n</math> על ידי זה שנבחר מכל <math>\!\,A_n</math> איבר <math>\!\,x_n</math> כלשהו. נראה כי זוהי [[סדרת קושי]]: יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו. בגלל שמתקיים <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שהחל ממנו לכל <math>\!\,n>N</math> מתקיים <math>\!\,diam A_n<\epsilon</math>.
 
===כיוון שני===
נניח כי <math>\!\,X</math> הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא <math>\!\,\left\{x_n\right\}</math> סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.
 
 
כעת, מכיוון ש<math>\!\,x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\!\,\epsilon>0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שלכל <math>\!\,m\ge N</math> מתקיים <math>\!\,d(x_N,x_m)<\epsilon</math>. לכן <math>\!\,diam \left\{x_k|k\ge N\right\}<\epsilon</math>, ולכן <math>\!\,diam A_n=diam Cl\left(\left\{x_k|k\ge N\right\}\right)<\epsilon</math>, וקיבלנו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>.
 
כעת הראינו כי הסדרה <math>\!\,A_n</math> מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן <math>\!\,\bigcap_n A_n\ne\emptyset</math>. יהא <math>\!\,x\isin\bigcap_n A_n</math>, אז לכל <math>\!\,n</math> מתקיים <math>\!\,x\isin A_n</math>, ולכן <math>\!\,d(x,x_n)\le diam A_n\rarr 0</math>, כלומר <math>\!\,x_n\rarr x</math>, והראינו שסדרתשהסדרת קושי שלנו מתכנסת.
 
[[קטגוריה:טופולוגיה]]