ויקיפדיה

סדרת פונקציות – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
בסיס לערך
אין תקציר עריכה
שורה 32:
זהו סוג חזק יותר של התכנסות של סדרת פונקציות. בעוד שבהתכנסות נקודתית כל נקודה יכולה (ליתר דיוק, בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה) להתכנס בקצב שלה, הרי שב[[התכנסות במידה שווה]], קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה. במלים אחרות, לכל אפסילון קיים N מספיק גדול שעבורו לכל הפונקציות בסדרה בעלי אינדקס הגדול ממנו, כל ערכי הנקודות בתחום ההגדרה מרוחקות עד כדי אפסילון מהערכים בפונקציית הגבול. כלומר: המקסימום של הפרשי הפונקציות שואף לאפס כאשר N שואף לאינסוף.
 
באופן פורמךי, תהא <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של פונקציות [[מספר ממשי|ממשיות]]. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה <math>\ A</math> [[אם ורק אם]] לכל <math>\ \varepsilon>0</math> קיים <math>\ N</math> [[מספר טבעי|טבעי]] כך ש'''לכל''' <math>\ x\isin SA</math> ו'''לכל''' <math>\ n>N</math> מתקיים <math>\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>.
 
דרישה שקולה לכך היא ש <math>\ \sup_{x \in A}| f_n (x) - f(x) | \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
שורה 43:
 
נאמר שסדרת פונקציות <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל f בממוצע אם
: <math>\ \int_{A}{ | \f_n (x) - f(x) | dx } \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
בצורה יותר [[ריגורוזי|ריגורוזית]], מגדירים את ה[[אינטגרל]] כאן באמצעות [[אינטגרל לבג]] המבוסס על [[תורת המידה]].
 
לעיתים קרובות, משתמשים בהגדרה החלופית הבאה:
נאמר שסדרת פונקציות <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל f בממוצע אם
: <math>\ \int_{A}{ | \f_n (x) - f(x) |^2 dx } \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
הסיבה לכך היא שזו בעצם [[נורמה (מתמטיקה)]] במרחב L<sub>2</sub> שהוא [[מרחב הילברט]] המופיע הרבה ב[[אנליזה פונקציונלית]].
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סדרת_פונקציות"