חבורה חופשית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Laurentius (שיחה | תרומות) +it: |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 10:
חבורה חופשית היא [[אובייקט חופשי]] ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת '''אוניברסליות''': לכל חבורה <math>\ G</math> ופונקציה <math>\ f:X\rightarrow G</math> קיים [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] יחיד
<math>\ \psi :F \rightarrow G</math> המקיים <math>\psi\circ\phi=f</math>, כאשר <math>\ \phi: X \rightarrow F</math> הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים [[אפימורפיזם]] <math>\ \langle X\rangle \rightarrow G</math>, ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כ[[חבורת מנה]] של חבורה חופשית. אם <math>\ G \cong F/N</math> כאשר <math>\ F=\langle X\rangle</math> חופשית, אז <math>\ N=\langle R \rangle</math> חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים '''יחסים''' של G. המנה <math>\ \langle X\rangle/\langle R\rangle</math> מסומנת ב- <math>\ \langle X|R\rangle</math> ונקראת '''[[הצגה לפי יוצרים ויחסים|הצגה]]''' של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).
== חבורת האוטומורפיזמים ==
[[חבורת האוטומורפיזמים]] של חבורה חופשית נוצרת על-ידי פעולות טבעיות על היוצרים, מן הצורה <math>\ x_i \mapsto x_i x_j</math>, והיחסים בין היוצרים האלה מוכרים וידועים. מ[[חבורת האוטומורפיזמים החיצונית]] <math>\ \operatorname{Out}(\mathbb F_n) = \operatorname{Aut}(\mathbb{F}_n)/\operatorname{Inn}(\mathbb{F}_n)</math> יש הטלה טבעית על החבורה הליניארית <math>\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})</math>, המוגדרת על-ידי ההטלה <math>\ \mathbb{F}_n \rightarrow \mathbb{Z}^n</math>. כאשר n=2, חבורת האוטומורפיזמים החיצונית איזומורפית ל- <math>\ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math>
(Nielsen, 1917).
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
| |||